CHAPITRE III. a

6 désignant comme 0 une quantité comprise entre o et i . Quand x est suflisamment grand, les termes du second membre vont d'abord en décroissant , comme dans la série de Stirling, et l'erreur commise quand on s'arrête à un terme quelconque est moindre que le terme suivant et de même signe que ce terme ; dans le cas particulier de fx = I , on a

rflog<p(j:) B, I . B, I

(ao) {

i f j]n 5a ^L -•(— t]n-\-iQ^".tA^ L.

^ ^ aux"» * ^ ^ 2/1 -h 2 J.--^'*-^»

On tire de la formule (i5) du n° 537 , par la difTérentiation,

on aura donc

dlofrria: -h i) I Bi I

ox 2X a X*

et, pour ft >• I ,

,^rfHogr(£-t-i]r(|t-i)rfa) rfu-(-i) i

6 désignant, dans toutes ces formules, une quantité comprise entre o et i.:

2ia4 CALCUL IHTÉGRAL.

547. Les résultats que nous venons d'obtenir fournissent un moyen très-sîmp]e de calculer la constante d'Euler^ constante que nous avons désignée par C. Nous prendrons pour point de départ la formule ( a ) du n^ 523, qui suppose x entier et qui devient, en changeant x en X -f- 1 ,

a 3 X dx ^

remplaçant — ~^A par sa valeur tirée de la formule (ai), il vient

C=( I-+-i-4-4 H-...-t--|~logjr ^

\ a 3 xf ^ ax

ax* 4*^ a/ïx** '

et l'erreur commise en s'arrétant au terme qui dépend de

Bit sera moindre, en valeur absolue, que -, ~-z — \ •

En remplaçant les nombres B par leurs valeurs, dans la formule précédente, on trouve

( C = ( l-+---l-i-h...-+--) — logar L î L^

\ \ a 3 x] ^ IX lajr

\ laojr* a5aa:* a4oa:* iS^a:*® 32760*** "*• et, si l'on s'arrête au dernier des termes écrits, l'erreur commise sera moindre que j^- Ainsi,enfaisantx=io,

I jLX

on a la formule

^ ( III II III i\

— log 10 1 • \ =

° ao la lao aSa

0,00000001 0,0000000001 0,000000000691 a4o i3a Sajôo