Cale, int, i

aa6 CALCUL intégral.

dule est Inférieur à tt ; on a donc, par la formule de Maclaurin,

(^5) (--i)"^^B„^ dz^--^\ (pourz = o\

La première dérivée de la fonction — est ,— r- — —r

et il est aisé de voir que l'on aura généralement

e= -h I __ At c^«>*-n^ -h A, e(«^-«)^ -H ... -h k^n-x^

ÂiyA^, ..., Aa^.i étant des coeflicients indépendants de z; il y a plus : Téquatîon (24) montre que la première

dérivée de la fonction r: est une fonction paire de z,

qui ne change pas quand on y change z en — z ; il s'ensuit que la même chose a lieu pour toutes les dérivées d'ordres impairs. Mais, par ce changement de z en — z, l'expression précédente devient

il faut donc que l'on ait généralement Aan-« = A/, et, par suite,

Gela posé, on a 1 ff"*

tf- -h f I -h e-*

CHAPITIIE III. !k2J

d'où

mais on a aussi

et, en multipliant entre elles les deux équations précédentes, on aura, à cause de la formule ( a6),

[iniin—i]. ,A^n— i-^\) ,,... 1

e»»* -4- ... H ^ ^—. ■ «(•'»~0*-f-. . . + awtf*4- I • I .3. . . I J

Le premier membre de cette formule est une fonction entière de e* ; par conséquent, si l'on effectue le produit indiqué dans le second membre, il ne restera que des termesjcontenant des puissances positives de e* ; en écrivant que les termes en e^^**"**^* sont égaux dans les deux membres, on trouve

et, pour les valeurs de jia supérieures à^i,

[vi)\ -^(-i)«— i TT" 7 .'(p -/)»-!+...

i.a...tf* — ij J»

aa8 CALCUL intégral.

mais les formules ( 25) et ( 26) donnent

on a donc

in

enfin, si l'on rénnit les termes en w"»~*, [n — 1)*"~*..., on aura

in 1 \ 2 I /^ '

[in 1 ^/i ('2/2 — i]"| , .,„ ,

2/ï 2/2(2/? — i) I in (in — i] il n — 2]