DES COURBES

De la quadrature des courbes planes.

549. L'opération qui a pour objet Tintégration d'une différentielle donnée y(x)rfx est souvent désignée sous le nom de quadrature ; cette opération est effectivement, comme on Ta vu, celle qu'il faut exécuter quand on veut connaître Taire comprise entre la courbe dont f[x) est l'ordonnée, l'axe des abscisses et les deux ordonnées qui répondent à des abscisses déterminées.

Pour avoir l'aire comprise entre deux courbes données GMD, C'M'iy et les ordonnées CC'A, DD'B qui répondent aux abscisses Xq et X, on remarquera que cette aire est la différence des deux CDBA., C'D'B A. Si

Ton désigne par j^, y les ordonnées MP, M' P des deux courbes, qui répondent à l'abscisse variable x, l'aire demandée sera, dans le cas des coordonnées rectangulaireSj

a3o CALCUL INTÉGHAL.

Cette formule est applicable au cas où l'on demande Taire d'un segment compris entre un arc de courbe et sa corde; alors j^' est une fonction linéaire dx + b.

Une aire plane limitée par des portions de courbes quelconques définies analytiquement peut toujours être décomposée en plusieurs parties positives ou négatives susceptibles d'être évaluées ^ comme nous venons de l'indiquer.

Dans les questions de quadratures, les coordonnées rectilignes ne sont pas toujours les variables qu'il convient d'employer. En particulier, il y a souvent avantage à faire usage des coordonnées polaires ; on détermine alors les aires de certains secteurs formés par un arc de courbe et deux rayons vecteurs. Si l'on nomme p, w les coordonnées polaires, «o et û les valeurs de w qui répondent aux rayons extrêmes, l'expression générale des secteurs dont nous parlons sera

Si l'on veut avoir l'aire comprise entre deux courbes données et les rayons vecteurs qui répondent aux angles cDq, Û, on emploiera la formule

où p et p' désignent les rayons vecteurs des deux courbes données.

Nous avons donné, dans le Calcul différentiel, divers exemples de quadrature dans lesquels l'intégration s'effectue immédiatement; nous en présenterons ici quelques autres.

550. Pauaboles. — On comprend sous la dénomination de paraboles les courbes représentées en coor-