CHAPITRE IV. a3i

données rectilignes par une équation de la forme

pin

où m et 71 sont des exposants positifs. Désignons par u Taire OMP comprise entre la courbe, Taxe des ab-

scisses et l'ordonnée MP = j^. On a, dans le cas des coordonnées rectangulaires,

du =^ y dx =z p*^ a:^ dx^ d'où

ardxz=

xy.

Or, le produit xy est égal à Taire du rectangle OPMQ, construit sur les coordonnées du point M ; on a donc

^MP m 9^^ — ^.

ÔpMQ ~" /7H-/I ^^ OMQ ^ n '

par conséquent, la parabole partage Taire du rectangle en deux parties qui sont entre elles dans le rapport des nombres m et n.

Réciproquement, toute courbe qui jouit de cette propriété est une parabole, car la proportion précédente, savoir

donne

xy — u n

«= —-; — 2 ^y% duz=iydxz=i — — I — [xdy-V-yilx)

a3si GÂLCTTL INTÉGRAL.

et

m /i — = o ou dloQx'^ — rflogj^*= o,

ce qui montre que le rapport —^ est égal à une constante.

551. Hyperboles. — On désigne sous le nom dVij^perboles les courbes représentées en coordonnées rectilignes par une équation de la forme

où met 7{ sont des exposants positifs. Supposons que m ne soit pas inférieur à /z et considérons la branche de

courbe située dans l'angle des coordonnées positives et qui a pour asymptotes les deux axes Ox, 0/. Soient AC=j^o^ MP = j^ les ordonnées qui répondent aux abscisses Xq et j: ; u l'aire comprise entre ces ordonnées, Taxe des abscisses et la courbe. On a, dans le cas des coordonnées rectangulaires,

-L — " au z=z y dx ■= p'^ X '"dlr,

d'où, en exceptant le cas de m = /z,

On voit que l'aire u croît au delà de toute limite quand X tend vers l'infini; au contraire, elle tend vers