CHAPITRE IV

une limite finie

U= o'"x "* = — ■ ary,

quand x^ tend vers zéro. La formule précédente exprime que l'aire indéfinie U est au rectangle OPMQ, construit sur les coordonnées du point M, dans le rapport constant de m à m — /i.

Cette propriété appartient exclusivement aux hyperboles, car la formule précédente donne

dU=jrdxz= ~ (xdr-hX^)^

d'où l'on tire

m h/i — =0 ou rflog(j?'*j^'") = o,

et, par conséquent,

jgn^m ; const.

552. LsHNiscATE. — Parmi les courbes dont la quadrature peut être efiectuée rigoureusement, au point de vue de la Géométrie, il faut remarquer la lemniscate de Bernoulli. Cette courbe a la propriété que les distances de chctcun de ses points à deux points fixes dont la dis-tance est 2 a ont un produit constant et égal à a^. En coordonnées polaires, la lemniscate a pour équation

p'= :2 a* ces 3U,

p désignant le rayon vecteur issu du centre. L'aire u du secteur déterminé par les rayons qui répondent aux valeurs (do, û de 0) a pour valeur «

u= j -p*d(»i=za^l c.os^(ad(û=: — (sinaH — 8in2a>o}. La courbe est symétrique par rapport à l'axe po-

934 CALCUL ihtégual.

laire Ox et à la perpendiculaire O;^ à cet axe; elle est composée de deux branches fermées, et les deux tangentes TT', SS' menées par le centre O sont inclinées de

45 degrés sur Taxe. Si l'on veut l'aire comprise dans Tune

des branches, il faudra faire Wo = — -7» 0== y dans la

formule précédente, qui alors donnera

553. Folium de Desgartes. — La courbe connue sous ce nom a pour équation en coordonnées rectangulaires

x^-^X^ — 3axx — o,

■a étant un paramètre donné. Elle se compose de deux branches infinies qui se rencontrent à l'origine des coor-

données et qui ont pour asymptote la droite représentée par l'équation

Il convient de substituer èixetjr les coordonnées polaires p et (ùf telles que

x = p C08», ^ = /) sîn«.