CHAPITRE IV. a

la formule (lo) donne

(■=») *'. = [7^' d'où *',<X'«.

Il résulte de là que, si l'on considère une suite infinie dans les deux sens,

dans laquelle le terme ko= k est inférieur à i , et dont chaque terme se déduit du précédent par la formule

le terme km tendra vers l'unité si m tend vers -f- oo , et il tendra vers zéro si m tend vers — oo . On peut donc ramener une fonction elliptique de première espèce F{ky(f)k une autre F (A*/, ç/), dans laquelle le module A*/ est aussi près que l'on voudra de zéro ou de Tunité; quant à l'amplitude (fi de cette nouvelle fonction, elle peut être facilement calculée par le moyen des formules établies précédemment.

Considérons, par exemple , la fonction complète Ff {k); on aura, par la formule (8),

Or, si i tend vers -f-oo , k^i tend vers zéro, et F(Ar./) tend vers la limite - ; on a donc ce développement remarquable de la fonction complète Fi (A: ) :

(i5) Fi (it) = ^ (i + ^-i) (i + ^>.) (I -^ X-3). . . .

2^6 CALCUL IIÎTÉGBAL.

559. La traDsformation dont nous venons de nous occuper conduit à des résultats importants relatifs aux fonctions de deuxième espèce. Si Ton multiplie Téquation

par sin^cpi, on aura, par les formules (2),

COS7</f,

et, en intégrant,

(16) ' •^^ ''*^* ~ 4 Jo ^î^

Introduisons, au lieu des intégrales de deuxième espèce, les arcs d'ellipse E(Xr, (f),E(A',, fi); comme on a (n°5oS)

jf^ = f«tF(*.,)-E{*.,)].

la formule (16) deviendra, en faisant usage de la formule {7),

(17) (i-h*)E(^„y,) = E(^,y)- ix-'«F(/',y) + *siny.

Cette équation montre que la fonction elliptique de première espèce F (A:, 9) peut s'exprimer par deux arcs appartenant à deux ellipses différentes.

L'arc d'hyperbole est donné, comme on Ta vu au