CHAPITRE IV

n** 55S, par la formule

en éliminant la fonction F de cette expression au moyen de la formule (17), il vient

■ 2A:sin^+ tang^A^.

Si Ton retranche de cette formule celle qu'on en déduit en changeant f et cfi en 4> et 4>i , l'équation résultante exprimera le théorème découvert, il y a plus d'un siècle, par le géomètre anglais Landen, savoir que tout arc d'hyperbole peut être exprimé par deux arcs d'ellipse. Réciproquement, tout arc d'ellipse peut être exprimé par deux arcs d'hyperbole; il est facile de conclure cette proposition des formules que nous avons établies.

560. Si dans la formule ( 1 7 ) on suppose cp = tt, qp 1 = - >

on obtiendra la relation suivante entre les fonctions complètes :

(i-+-X-)E,(/^,) = 2Ei(X)^X-'«F.(*).

Remplaçant k, k et A"| d'abord par Ai, k\, kp.iy puis par Ai-i , A'|,4 f ki, on aura

les modules /lc..i 9 kiy ki^i étant déterminés en fonction du module initial ko ou k, comme on l'a expliqué au n*' 5o8. On a aussi (n®557)

$i donc on élimine la fonction F| entre les équations pré-

cédentesy et que l'on remplace Âr/| , A^-| par les quantités éerales rf » — ^^—fry il viendra

relation remarquable entre les circonférences de trois ellipses ayant pour excentricités kuiy Ar/, Âv+i.

Des courbes algébriques dont les arcs s'expriment par

des arcs de cercle.

561 • La recherche des courbes algébriques dont les arcs s'expriment par des arcs de cercle offre un certain intérêt au point de vue de la Géométrie , car on peut exécuter sur ces courbes, comme sur le cercle , toutes les constructions relatives à l'addition ou à la soustraction des arcs, à leur multiplication et à leur division. Euler s'est beaucoup occupé de cette recherche, et, dans un Mémoire qui n'a été publié qu'après sa mort, il a fait connaître une famille de courbes possédant la propriété en question, courbes qu'il n'a trouvées, dit-il, qu'après avoir travaillé longtemps sur cette matière.

Les courbes découvertes par Euler ne forment qu'un cas très -particulier de celles dont l'arc indéfini s'exprime par un arc de cercle, et dont les coordonnées rectilignes sont des fonctions rationnelles de la tangente trigonométrique de cet arc. J'ai fait connaître toutes ces courbes dans un Mémoire qui fait partie du XXXV* Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, et j'ai montré qu'elles formaient une infinité de classes distinctes, comprenant chacune une infinité de courbes individuelles. Je me bornerai ici à développer la solution du cas le plus simple, qui comprend les courbes de la première classe.