CHAPITRE IV

Si l'on désigne par i l'imaginaire ^ — i, par g une quantité positive, par xs un angle réel et par e la base des logarithmes népériens, puis que Ton fasse

a et a étant des constantes imaginaires et conjuguées, ainsi que & et S, c et y, . . . , et m, /i, /?, y, ... étant des entiers positifs, la solution générale du problème proposé sera donnée par la formule

(i) x-\-iy=zge^^ I -

, ; z oz»

pourvu que les constantes a, £, c, . • • , a, S, y, • • . soient choisies de manière que Tintégrale qui figure dans la formule précédente soit algébrique. On a effectivement

et, en changeant i en — i,

dx — idy — ge-i'' - ~ — 1— ^ dz.

La multiplication des formules précédentes donne et

I dz=.g arc tang s.

Comme le degré du numérateur de la fraction - T^ — : — '- — - est inférieur de deux unités au degré du dénominateur, si fx désigne le nombre des constantes a^ &,

aSo CALCUL INTÉGRAL.

Cy . . . OU a, S, y, . . • , il suffira de satisfaire à fx — i, conditions (n® 419 ) pour rendre algébrique l'expression de X +- iy.

Lorsque f et t se réduisent à Tunité, notre formule ne donne pas d'autre courbe que le cercle ; le cas le plus simple est donc celui dans lequel on a

r== ;a ii)«H-î, T= (z — a) La formule (i) devient alors

et une seule condition suffit pour que l'intégrale soit algébrique. Pour trouver cette condition de la manière la plus simple, soit u une nouvelle yariabléy et posons

faisons

aussi; pour abréger,

on aura

dz \ a— i ^

. .. . .... ^— /T ff

z-i-ir it a -^- i

et

{z iY'dz I la A"*-*-*

(«H-fj"»-^* 2/ \a-4-f7

puis

z — a a-r-/tt — Ç

D'après cela, la formule ( 2 ) devient