CHAPITRE IV. a5l

en faisant, pour abréger.

rn-hl

On voit alors que la condition pour que x -{-ijr soit algébrique est

Cette équation en Ç est du degré m + i ; elle a une racine égale à i, et, s\n est inférieure à m, elle a m — n racines nulles ; le nombre des racines différentes de o et de I est donc égal au plus petit des nombres m et n ; on reconnaît que toutes ces racines sont réelles, inégales et comprises entre o et i , en appliquant n fois de suite le théorème de RoUe à l'équation

qui a m racines nulles et 7]t -f- 1 racines égales à i . Les racines nulles de l'équation (4) ne peuvent nous convenir, car, pour f = o, la formule (3 ) donne a = — i ou «=-f-i; mais l'une de ces équations entraîne l'autre, puisque a et a sont conjugués; les facteurs z — a, z — a deviennent ^ -h i, z — i ; par suite, on retombe sur le cas où les polynômes t et r se réduisent à l'unité. Pour f = i l'équation (3) donne a = a^ et la formule (a) se réduit encore à celle que donne l'hypothèse t = r = i .

Mais à chacune des racines Ç comprises entre o et i répondent pour a et a des valeurs imaginaires et conjuguées l'une de l'autre. Remarquons d'abord qu'on peut supposer

(5; <ia=:i

sans diminuer la généralité de la solution, car on ramènera le cas contraire à celui-là par un changement de

25a CALCUL INTÉGRAL.

variable. Il suflira efiectivement d'écrîre au lîeu

I — tz

de Zy en prenant pour e Tune des racines de Téquation

gï -4 «j g — I =r: O;

aa, — I

par ]a transformation dont il vient d'être question, la formule (a) devient

* ■ '-^ -"'^ j (î - «. )''-^' [z + /•)'«+' "'' ai etai ayant les valenrs suivantes:

l-hat 1 -f- a«

d'où Ton conclut aiai=i. On peut donc admettre Téquation (5), et de cette équation, combinée avec (3), on tire alors

si Ton donne à a et à a ces valeurs dans la formule (a), l'expression de a: -f- iy sera algébrique.

562. Considérons le cas de m = i qui répond aux courbes d'Euler, L'équation (a) devient

et l'équation de condition est

(3 — fl)«+l(3— 0

■*"*(2 -f- if

dz^