CHAPITRE IV
d'où Ton tire, en faisant abstraction des racines ^ = o,
Les équations (6) donnent ensuite les valeurs suivantes de a et de a :
il -H I n-hi
L'intégrale qui forme le second membre de Féquation (7) étant une fonction algébrique, il est clair que le dénominateur de cette fonction est [z — a)'^[z-\-i)^. En outre, si Ton prend l'intégrale de manière qu'elle s'annule pour z = a, le numérateur sera divisible par [z — û)""*"^, et, parce que ce numérateur ne peut être que du degré n + a, on aura un résultat de la forme
x-{-ijr = ge^^ ' — -f- const.
Comme la constante n'influe que sur la position de l'origine des coordonnées, nous la supposerons nulle, et nous prendrons simplement
(9) a:4-rr^ge'^^^__^^,^^^.^,,
où g* et cr n'ont pas, bien entendu, les mêmes valeurs numériques que précédemment. On aura l'équation des courbes dont nous nous occupons, en coordonnées rectilignes, en éliminant z entre l'équation (9) et celle qu'on en déduit par le changement de i en — i ; mais il est plus simple d'employer les coordonnées polaires et de substituer l'intégration à l'élimination.
En diiTérentiant l'équatioB (9) et en faisant usage
254 CALCUL IMTËGRAL.
des formules (8), il vient
il faut remarquer que l'équation (g) entraine l'équation (lo) quel que soit 72; nous pouvons donc supposer ce nombre fractionnaire , car la courbe à laquelle Téquation (9) se rapporte ne cessera pas d'être algébrique. Ainsi les résultats qui vont suivre acquièrent une généralité que ne comportait pas notre énoncé.
Multipliant chacune des équations (9) et (10} par sa conjuguée^ il vient
dz^
Désignons par p le rayon vecteur ^x'^-t-j^, par ris la différentielle de l'arc de courbe, savoir ^dx*-h dy^^ et prenons ds de signe contraire k dz; on aura
si ni ri A- 1] dz ds ^1^ — a ff :
=*«> „-,-l z«-rl'
et, en posant
« = — tang (74--)» d'où c/a = , ^ .
ces formules deviennent
\\i\ r!sz= g y — ^ '- d\.
CHAPITAB IV. a55
En difTérentiant l'équation (i i), on trouve
^P = — ^ — ^^j sin> </X, d'où
(i3) -'- = — smA,
as
et y si 0) désigne la seconde coordonnée polaire , on pourra poser
4ùdoà ) i-T- = -:- COSX,
ds
puisque dp^ -î- p' rfw* rrr rf^*.
Des équations (ii), (12) et (i4) on déduit
. ds cos> n -^ I
^ -i cos> d\
