I-h-3^— ^^ ^COB> 1-4-^— i i cosX

/l -hl 71-4-1

Ces équations sont compatibles, car on en déduit

cos*V-hsin'V = i.

a56 CALCUL INTÉGRAL.

En difTérentîant la seconde équation (16)» il vient

- — ^ -h cos>

C0SV€/V= n== r~r rfL

"""('^^iVi'^'-O'

d*oùy à cause de la première équation (16)9

(/i-4-l)cfX'=r —

par suite, Téquation (i5) devient

Intégrons cette équation de manière que (ù s'annule en même temps que X et X'; il viendra

d'où

(18) cos« + /sino» = (cosX 4- / sinX) (cosX' — z sinX')*^*,

Faisons, pour abréger.

('9) ï^=v/-p*+^^''-(;rTF?î

on aura, par l'équation (n)»

/ X N n-hi p —'g . . /i -4- 1 R

(ao) cQsX = i- -9 smX = — z - . —?

et les équations (16) donneront ensuite

cosX = — >

(ai) { \Jn[n-^i)

siaX'= z^ —

CHiPlTIlB IV. 2^7

On a, d'après cela,

COSA -+-/ sinA = : = [p — g-hlTHjy

g ^In ( « -h ri ) cosV — / sin V = - " ('i -+- 1 )p ^ /R I :

et Téquation (i8) devient enfin / coso» -h /sinu

Cette équation (aa ) se décompose en deux autres qui font connaître costù et sinco en fonction de p; Tune ou Tautre de celles-ci peut être regardée comme Téquation de nos courbes en coordonnées polaires.

En multipliant l'équation (2a) par p, il vient

(23) x^iy=-jj- '■ =^:

dans le cas particulier de n entier, les valeurs de x eij" ont la forme suivante :

' F et/* désignant des fonctions entières de p.

563. Dans le cas général, l'équation (22) est trop compliquée pour pouvoir servir utilement à l'étude des courbes qu'elle représente, et il vaut mieux employer le système formé des équations (ii), (16) et (17), ainsi que l'a fait Euler.

Si l'on prend pour unité la quantité g -— > les

S. — Cale* int. 17

258 CALCUL INTÉaUÀL.

équations (ii) et (la) se réduiront à

n-hi p = ■ -h COS/^

on a, par suite,

en comptant les arcs à partir de X = o, et il vient

p = -4- ces J

^fi[n-h 2)

pour Téquation générale de nos courbes entre l'arc et le rayon vecteur. Ces résultats sont conformes à ceux qu'Euler a obtenus.

564. Dans le cas de /i = i, l'équation (2a) devient, en prenant - pour unité,

cosw 4- isint)

3pV3 et l'on a

Rr=V^— p*-f-4p — *•

II en résulte que la courbe relative au cas de tz = i est représentée par l'une ou l'autre des deux équations

cosw = ^ y

3pV3

sinw= -^—^- ^^ •

3pV^

Dans le cas de 71=2, l'équation (22) devient, en

prenant ^ pour unité,

cosû) 4- t smw = '* ^-)-f —9