tia'smaw, P -^ p j

d'où, en désignant par 5 Tare de la courbe compté à partir d'une origine arbitraire,

ds =1 o.a* • ^ ou ds = a ^ ' ^^:^^=.»

^4 ^* — P^ ^cos a ft>

Si l'on fait

sinw = — = smc), cosw = i / 1 sin'o,

il viendra

df

dszrza

y/i-lsm^

Si donc on prend la ligne a pour unité, et que l'on fasse

û6o CALCUL INTÉGRAL.

commeDcer Tare s au point où ot>= o, (f = o, on aura

fv-

y/i-isin»

Ainsi y Varc de la lemniscate n'est autre chose que V intégrale elliptique de première espèce dont l'amplitude

est cp et dont le module a pour carré -•

On verra plus loin que les fonctions elliptiques de première espèce peuvent être ajoutées ou retranchées entre elleSy multipliées ou divisées algébriquement, de la même manière que les arcs de cercle; il s'ensuit donc que Ton peut effectuer sur la lemniscate des constructions analogues à celles auxquelles on est conduit dans la théorie du cercle.

566. La lemniscate n'est qu'un cas particulier de la courbe connue sous le nom d'of^a/e de Cassini, et qui est définie par la propriété que le produit des distances de chaque point de la courbe à deux points fixes est constant. L'équation de cette courbe est, en coordonnées polaires,

p* — 2a'|)'cos2w-f-a*= 6^

a a étant la distance des deux points fixes, et b^ le produit constant des distances d'un point de la courbe à ces points fixes.

L'ovale de Cassini affecte trois formes très-différentes,

selon que le rapport - est inférieur, égal ou supérieur

à l'unité : dans le cas de - = i, elle coïncide avec laleni-

niscate.

Nous supposerons d'abord - <ii» et nous ferons

GHAPlTfiB IT. 261

h^ = £z^ sin 2 OC ; dans ce cas^ la courbe est formée de deux boucles fermées égales entre elles , etTangle 2a est celui que forment entre elles les tangentes menées parle centre. Les rayons vecteurs qui répondent aux valeurs (ùq et ©« de &) déterminent sur la courbe deux arcs que je représenterai par ^(coo, a)|)y (7(0)0, €d|), ou simplement par s[(ùt), a(a)j), si a)o = o. D'après cela, on trouve facilement

/ \ *' I VC^^^û) -h i/('OS*2w — COS*2« , S (wo, wj ) z= — I ^~= d(û.

^cos* 2 w — cos* 2 œ

^ \ ^* 1 v'cos2w — i/cos*2w— COS*2a ,

tA. i/cos' 2 w — ces' 2 a

d'où Ton déduit

(i) f[wo, Wi)-+-<r(û>o,wi) = 2 —I

i/cOS2W — COS2a

(2) ^(wo.Wj) — (7{û>o,W,) =2» — I --:rr^

•/ vcos^tw -i- cosaot

Si l'on pose, dans la formule (i), (3) sinfi>> = sinasia9,

et, dans la formule (2), ( 4 ) sin w = ces a sin \^,

on aura

^J v'' — sm*asiu*9>

(6) j(«o,»i) — ff(»o,»i) = -- I 7====

les angles ^o> ^oy ^0 ou 91, ({^i, a>i devant satisfaire aux équations (3) et (4)*

26a CALCUL INTÉGRAL.

Si Ton fait Wo= o, on aura aussi Ço= o> ^0=0, et, en écrivant cp^ ^y ca au lieu de 90 ^o ^1 9 ^^^ équations (5 ) et (6) donneront

(7) r(sina,y) = ~[5(«)H-(T(«)],

(8) F(cos«,,p) = J [*(«}-»(«)].

II résulte de là que toute fonction elliptique de première espèce est, quel que soit son module, exprimable par la somme ou par la différence de deux arcs de l'ovale de Cassini, de Tespèce que nous venons de considérer. Réciproquement, tout arc de cette courbe est exprimable au moyen de la somme de deux fonctions elliptiques de première espèce, dont les modules sont complémentaires. Ces modules ont pour valeurs

ces a

Si dans l'équation (7) on pose co = a, d'où ç = -> et

qu'on désigne par S la longueur totale de la courbe, on aura

F.(sina)=^.S.

ce qui montre que la fonction complète de module sina est exprimable au moyen du périmètre entier de la courbe.

Dans le cas de - = 1, l'angle « est égal à - et les

arcs ^(ot)) sont nuls ; on retrouve le résultat connu relatif & la lemniscate.