CHAPITRE lY

5(57. Supposons ->• I et posons a* = 4^sin2a; la

courbe est composée d'une seule branche. Je désignerai par ^(wo, (ùi ) l'arc déterminé par les rayons vecteurs qui répondent aux valeurs ù)o, &>| de od, et par a(ei)o, c>>i ) Tare que déterminent les rayons vecteurs perpendiculaires aux deux, premiers. D'après cela, on aura

/ \ ^* / VCOS2 W -h i/cOS'26) H- cot'2a ,

•/« i/cos* 2 w -i- cet' 2 a

Ô* / ^ — COS2û)-f- i/cOS*2û) + COj.*2a (r(û>o, «1)=-- f ^^ --:--^- — - ■ r/w;

»/^^ V cos* 2 w -+- cet' 2 a

par suite, en supposant ci>o, t»>i compris entre zéro et y 9

, . f \ , ( \^A^^ i VCot2a 4- ^/cos*2w H- cot*2â ,

^cos* 2 w -h cet' 2 a

— cot2a -I- ^cos'2w -hcot'2a

^cos* 2 w -f eut- 2 a Posons, dans l'équation (9),

dtA,

, . , — r — I — 2sm*asm"9

fll) i/C0S*2û) +COt'2a = .— >

\ I y sin2a

et, dans l'équation (10),

I — 2 cos* « .sin'\î»

(12) \/'c«**^« + cot*2« = . =-:

^ ' ' sin2a '

on aura

J \l \ — sm'a sm'o

^tP

, y I — cos^asin^ij* les angles (f^j <|/oy ^0 ou ^i, ^1, oi>i doivent satisfaire aux

264 CALCUL IVTÉGKÀL.

équations (11) et (i a), et, si l'on détermine l'angle d)' par la relation

sin2w' = sin^a sina&i,

les équations (11) et (12) se réduiront à

sinw' . . sinw'

sinyi=— : — y sini|/ =

smoc cosa

Si 0)0 = o, on a aussi yo = o, ij;o=o, et les équations (i3) et (i4) donnent

(i5) F(sina,y) = i[j(«)H.c7(«)],

(16) F[cosa,^) = - [s{ù>] — (7(w)].

Les modules de ces fonctions elliptiques sont encore complémentaires et ont pour valeurs

cosa

Si l'on fait &> = -^» on a cp = -> et l'équation (i5) donne, en désignant par S le périmètre total de la courbe,

F.(sina) = A.

On voit que l'on est conduit aux mêmes conséquences que dans le premier cas.

Des courbes algébriques dont tes arcs s'expriment par des fonctions elliptiques de première espèce.

568. La détermination de toutes les courbes algébriques dont les arcs peuvent représenter les fcHictions