Exemple I. — Déterminer le volume du tore
Le tore est le solide engendré par un cercle tournant autour d'un axe situé dans son plan.
Rapportons le cercle générateur à deux axes rectangulaires dont l'un, celui des x, coïncide avec Taxe de révo •
lution; soient a le rayon du cercle, 6 Tordonnée du centre, y^ y* les ordonnées des points M, N qui répondent à la même abscisse x\ on aura
puis, en supposant Taxe de rotation extérieur au cercle,
Or, si Ton désigne par v Taire de la portion du cercle comprise entre les ordonnées Mo Po,MP, qui répondent aux abscisses Xo, X, on a évidemment
[y — y^dx:=:^i I ^a* — x^dx\ donc le segment de tore sera
Si Ton veut avoir le volume total du solide, on fera i^ = Tra*, et Ton aura
578. Exemple IL — Déterminer le volume engendré par la surface de la cycloïde tournant autour de sa base.
Prenons pour axe des x la base de la cycloïde et pour axe des j^ la perpendiculaire menée par Tune des extrémités de cette base; la courbe sera définie (n°230) par les équations
x-~^a[tf — sin^), ^==«(1 — cosy),
d'où l'on tire
dv =z a(i — cosy ) df.
Soit V le volume engendré par l'aire comprise entre la courbe, la base et l'ordonnée j^ qui répond à l'abscisse x
CHÀPITIIE V. 279
on à l'angle f ; on aura
\=zn j jr*dx=:ira^ j (1 — cOStp^df;
or
(i — C08y)'= y cosy H — COS29 — 7 cos3p;
donc
ir 3/5 l5 . 3 . I . O \
V rt: irrt^l -y ^Sin^ -f- jSin2ç> sin3ç> ).
Si Ton veut le volume total du corps engendré par la cycloïde, on fera cf = atr, et Ton aura
579. Exemple III. — Déterminer le volume engen-» dré par la surface de la cjcloïde tournant autour de la tangente au sommet,
La courbe étant rapportée aux mêmes axes que dans l'exemple précédent, soit V le volume engendré par la surface comprise entre la courbe, la tangente au sommet et la perpendiculaire ia — y à cette tangente correspondant à l'angle cf ; on aura
V=:Tr / [la — ^)*cir=:ira' / (i -h COS9) sin'<
or
donc
%m^(fcuf = -f- const.y
I cciSf sin*f ^f = ^ sin'ç H- const. :
(TT — o sinocoso I . . \
en faisant c^ = 0y on aura le volume engendré par la
surface comprise entre la demi-cycloïde et la tangente ; si ron double le résultat, on obtiendra le volume total, savoir
V=r7r«rt».
V est ainsi le cinquième du volume considéré dans l'exemple précédent.
Considérations nouvelles relativ^es à la détermination du volume des corps terminés par des surjaces quel' conques.
