CHAPITRE y
Ilmiles du contour de Taire u, cette aire aura pour expression
(2) U=: (Z^Zo)djr,
et la formule (i) pourra être écrite comme il suit :
(3) Y= C dx f (Z-3o)r/>%
Dans cette formule (3), Z et Zq sont des fonctions données de a: et dej; elles représentent les ordonnées z des deux points de la surface du corps qui répondent aux coordonnées x, y^yo et Y sont des fonctions de la variables; elles représentent des ordonnées parallèles auxj et répondent à l'abscisse x du contour qui limite la projection du volume V sur le plan des xj; enfin Xo et X désignent des constantes données.
La formule (2) exprime, comme on sait, que Ton a
Il = limN (Z — 5o) A^-,
X étant regardée comme constante etj^ variant de^o à Y par intervalles infiniment petits égaux à ùtj; on a de même, par la formule (i),
V=^ lim \ aAx,
X variant ici de jtq ^ X par intervalles égaux à ùx. On peut donc écrire
V=limVA.rlim VfZ — 3o) Ar ou {\) V=limVV(Z— 3o) AxA/.
L'expression (3) est dite une intégrale double; l'ex-
CALCUL IHTÉGRAL.
pression (4)» qui en est une conséquence, montre que V est la limite vers laquelle tend la somme des prismes infiniment petits (Z — Zq) ^a:A^, dont les bases ùa^ ùy^ forment une somme qui a pour limite l'aire suivant laquelle se projette le volume V sur le plan xj,
581 . On peut arriver aux résultats qui précèdent par d'autres considérations qui permettront en même temps d'introduire plus de généralité. Désignons par V le volume d'une portion quelconque d'un corps rapporté à trois axes rectangulaires, et supposons, comme précédemment, ce que l'on peut toujours réaliser, que la surface du solide à évaluer ne soit rencontrée qu'en deux points parles droites parallèles aux z. Soient, comme au n^ 580, Z et Zq les valeurs de z relatives à cette surface. Nommons P l'aire suivant laquelle le volume V se projette sur le plan des xjj et décomposons cette aire en éléments infiniment petits dans tous les sens, d'après une loi quelconque. La décomposition dont je parle pourra être réalisée au moyen de deux familles de lignes dépendant chacune d'un paramètre variable ; deux courbes infiniment voisines MN, M|N| de l'une des familles détermineront, avec deux courbes infiniment voisines PQ>
PiQi de Tautre famille, un quadrilatère ABB1A4 =sa qui sera l'un des éléments que nous avons à considérer;
CnAPITRE V. 283
on aura
a* désig^nant un élément infiniment petit limité en partie par le contour de P.
Mais, les éléments a' étant compris entre deux courbes infiniment voisines du contour de P, la somme £ :Iz a' a pour limite zéro, il en résulte
P reliai \ a;
ety conformément au principe du n^9y on pourra encore négliger dans ol toute quantité infiniment petite par rapport à cet élément.
Cela posé, le cylindre qui a ce pour base et dont les are te s sont parallèles à Taxe des z intercepte, dans le volume V, un élément qu'on peut représenter par a (Z — z© -f- c) en désignant par e un infiniment petit; il en est de même des cylindres qui répondent aux éléments excédants a' et auxquels répondent des éléments solides a' { Z ' — ^^^ -^ e ' ) . On a ainsi
la deuxième somme a zéro pour limite, puisque \ a'
tend vers zéro ; la somme N ae a aussi zéro pour limite (n«9), et Ton a
(5) .V = limy«(Z-Zo).
582. Supposons que les éléments a soient déterminés par une série de lignes parallèles à Taxe des x et par une
a84 CALCUL INTÉGRAL.
deuxième série de lignes parallèles à Taxe des^; on aura
et par conséquent
V=lim\ (Z — 3o)^^Ar«
Pour avoir V, d'après cette formule, on peut commencer par prendre la limite de la somme des éléments (Z — Zo) ùxAy, en supposant x et ùx constants. Cette
limite sera égale à Ax / (Z — zo)dj, si l'on suppose
que le contour de l'aire P ne soit rencontré qu'en deux points niot M par les parallèles auxjv', et que l'on désigne par yof Y les ordonnées de ces deux points. On a ainsi
l'élément du volume V qui se projette sur la partie Mmo/n^M' de l'aire P, partie qui est comprise entre deux parallèles à l'axe des y répondant aux abscisses x et a: + Ax. Maintenant soient Xo et X les abscisses correspondant aux ordonnées julo, v^, auxquelles se termine le contour de l'aire P; il restera à prendre la limite de la somme des éléments que nous venons de déterminer quand x varie de Xo à X par intervalles égaux à ùx ; on
