CHAPITRE T. a

aura ainsi cette expression de V

(6) V= f da: f (Z-^Zo)<r.

Au lien d'opérer comme nous l'avons fait, on peut commencer par faire la somme des éléments (Z — ^o ) £^^y en supposant jr et ùjr constants; on obtient ainsi

Aj- / (Z — Zo)dxy les limites x'^ et X' étant les ab-

scisses des points du contour de Taire P qui répondent à l'ordonnée j-; ensuite, en désignant pary^ et Y' les ordonnées correspondant aux abscisses auxquelles se termine le contour de l'aire P, on aura, pour le volume V,

(7) ^= f dx f [Z^z,)dx.

Si l'aire P est celle d'un rectangle dont les cAtés soient parallèles aux axes des x et des y^ il est évident que Ton aura

x^ = Xq, X :^ X, y^ =^» Y^ = Y, et conséquemment

Ç dxÇ {Z^z,)dy= f djr f [Z-z,)dx,

d'où l'on conclut ce théorème, déjà établi (n^ "(81), savoir :

Lorsqu 'il s' agit d * intégrer l'expression (Z — z^) dx dj entre les limites x^j^de x et entre les limites y^ , Y de y, on peut exécuter les opérations dans un ordre quelconque, pourvu que les limites relatives à chaque intégration soient indépendantes de la variable à laquelle se rapporte l'autre intégration.

286 CALCUL IIYTÉGRAL*