DéTERMINATION DU VOLUME TOTAL d'uN COUPS

Nous supposerons que la surface du corps ne soit rencontrée par une droite qu'en deux points ; le cas contraire peut facilement se ramener à cette hypothèse. L'aire P esl évidemment ici la trace sur le plan xy du cylindre parallèle aux z et circonscrit à la surface du corps ; c'est aussi ce que l'on nomme le contour apparent du corps sur le plan xy. Les ordonnées z^, Z seront données par l'équation

qui appartient à la surface du corps ; les points de cette surface où le plan tangent est parallèle à l'axe des z satisfont à l'équation

dY

et l'élimination de z entre les deux précédentes équations fera connaître l'équation

du contour de l'aire P; c'est de cette dernière équation qu'on tirera les valeurs de y^ et de Y. Quant aux limites x© et X de l'intégration relative à Xy elles sont les abscisses des deux points de la surface du corps où le plan tangent est parallèle au plan yzj et l'on a, pour ces points, les trois équations

584. Supposons que les éléments a du n° 581 soient déterminés par une famille de circonférences ayant pour centre l'origine des coordonnées et par les rayons issus de cette origine. Soient /9 et |0 + AjO les rayons de deux circonférences infiniment voisines, u, a>4- Au les angles

CRAPITRE y. 287

de deux rayons infiniment voisins ; on aura

et Ton peut écrire, en négligeant Ap^,

V = lim \ (Z — Zq ) P Ap A».

Commençons par prendre la limite de la somme des éléments (Z — «o) P^p^^> en supposant « et Aco constants. Si l'origine des coordonnées est extérieure à

l'aire P, et que les rayons issus de cette origine ne rencontrent le contour qu'en deux points, le résultat sera

Ao) / (Z — Zq) pdpf et il exprimera l'élément du vo-

lume V projeté sur la partie moMM'm'^ que déterminent dans l'aire P les rayons correspondants aux angles co, (ù + A(ù, Il reste à prendre la limite vers laquelle tend la somme de ces éléments quand co varie par degrés égaux à Aoi> entre leslimites a>o, Q qui répondent aux rayons Oju, Ov auxquels se termine l'aire P. On a ainsi

V= f doi f (Z — «o)p^p.

Si l'origine des coordonnées est dans l'intérieur de l'aire P, il est évident que la première intégration devra

être faite à partir de zéro jusqu'à la valeur R qui convient au contour de P, et que les limites de la deuxième intégration seront o et 2 tt. On a ainsi

585. Exemple I. — Je prendrai pour premier exemple de la théorie qui précède le problème que nous avons déjà résolu au n°575. Il s'agit de déterminer le volume V compris entre les surfaces dont les équations sont, en coordonnées rectangulaires,

L'aire P est évidemment ici celle du triangle rectangle formé par l'axe des Xy l'axe des j' et la trace du plan X -h y -h z = a sur le plan xy ; cette trace a pour équation X 4- j = a, et l'on a

L'ordonnée Zq est nulle, c'est la valeur fournie par la troisième des équations précédentes; les deux autres donnent

et la plus petite de ces deux valeurs de z doit évidemment être prise pour Z dans la formule

Zdy.

Ainsi l'on a Z = — tant que

—-<« — •^— r ou jr<;l^ [,

cnAPiTHE V. 289

et, au contraire, Z= a — x — j tant que

par conséquent,

fl-f-X

2 {a-h.r^* 1 (a-Hx)*

I X ( fl — .r)*

et

__,/-.rf« ■'•^».__/.7 , A.

comme on l'a déjà trouvé au n'* 57o. On voit que le volume Y se compose de deux parties, dont l'une est limitée par le paraboloïde donné, l'autre par le plan donné.

586. Exemple IL — Etant donné le cjlindrc dont l'équation est y^-r-x^ — Ra:= o en coordonnées rectangidaires, on demande le volume de la partie comprise entre le plan xy et la sphère dont l'équation est

Si l'on introduit les coordonnées polaires p etco au lieu de X et j^, la sphère aura pour équation

et l'équation de la trace du cylindre sera

p = R cosa».

L'expression du volume demandé sera donc, en n'en

prenant d'abord que la moitié et en doublant ensuite^

l'intégrale / v^R^ — P^P^P ^^t égale à

— ^ (R*— p")* -f-const.;

donc

Y=|r» I (i — 8in»»)A>

= -R'l« (i — sinoj + sînucos*»)^^»;

on a

I (1 — 8in6>-h8inMCOs'w)</w = w-f-cosw — xcos'u+const.;

donc

L'excès de la demi-sphère ^ttR' sur la partie a V du

cylindre indéfini comprise dans son intérieur est donc

égale à?R».

Sur l'application des formules précédentes à des

questions diverses.

587 . La considération des volumes peut être employée avec avantage dans la solution de questions diverses ; on en a vu un exemple au n^ 582, où nous avons rencontré