CHAPITRE y. api

naturellement une démonstration nouvelle et fort simple de la règle de l'intégration sous le signe 1 , déjà précédemment établie; nous présenterons ici deux autres exemples.

Comme premier exemple, nous indiquerons le procédé dont Poisson a fait usage pour déterminer la valeur de rintégrale déGnie

dont nous nous sommes déjà occupé au n^ 497, et qui n'est autre chose que l'intégrale eulérienne F [ - Si l'on multiplie la précédente intégrale par

e-y*dy.

on aura un produit égal à F^ ( - 1 9 qui ne sera autre chose que l'intégrale double

c-('*+r ) rij-.

Cette intégrale double exprime le volume indéfini compris entre la surface dont l'équation est en coordonnées rectangulaires z = e"^'"^' et le plan xjr. Or, si l'on substitue aux coordonnées x ^ les coordonnées polaires p , gi>, l'équation de la surface sera z = c^* , et le volume que nous considérons aura pour expression

'^fâ=p-X''"'^''''-

L'intégrale relative à p étant indépendante de o), on peut

écrire

le premier facteur a pour valeur an, le second est égal à -; on a donc

comme on Ta déjà trouvé par d'autres considérations.

588. Comme deuxième exemple, nous nous proposerons de démontrer une formule curieuse, dont Lejeune- Dirichlet a fait usage dans un de ses Mémoires ; cette formule est la suivante :

f dr f f{.T,y)dx=^ f dy f /U,})rix;

f{xj y) y désigne une fonction quelconque qui reste finie entre les limites des intégrations. Il s'agit donc ici d'une intégrale double dans laquelle l'intégration relative ky doit être effectuée entre des limites qui ne sont pas toutes deux indépendantes de l'autre variable, et où Ton peut cependant intervertir l'ordre des deux intégrations. Pour démontrer la formule de Dirichlet, il suffit de considérer j:,j^ eif[Xyj) comme les trois coordonnées rectangulaires d'une surface ; alors on voit de suite que chacune des deux intégrales doubles exprime le volume compris entre la surface dont nous venons de parler, le plan des xj et les trois plans perpendiculaires à ce dernier, dont les équations sont j^ = o, x = a, ^ = x.

De l'aire des surfaces courbes.

589. On ne peut comparer à une ligne droite qu'une autre ligne droite ou une somme de telles lignes ; aussi