CHAPITRE V

nous avons dû définir avec précision, dans le Calcul différentiel, la longueur rectiligne qu'on nomme longueur d'un arc de courbe. Nous emploierons ici des considérations analogues pour définir ce que nous entendons par aire d une portion déterminée de surface courbe.

On peut toujours supposer que la portion de surface courbe dont il s*agit soit limitée par un contour, car, si le contraire avait lieu, et qu'il fût question de la surface totale d'un corps, on serait dans le cas d'un contour infiniment petit; d'ailleurs rien n'empêcherait de décomposer la surface en deux ou en un plus grand nombre de parties ; ce que nous allons dire de chaque partie s'appliquera alors naturellement à l'aire totale, qui sera la somme de ces parties.

Soit une portion de surface courbe terminée par un contour C; nous nommerons aire de cette surface la limite S vers laquelle tend l'aire d'une surface pofyé^ drale inscrite formée de faces triangulaires et terminée par un contour polygonal F ayant pour limite le contour C.

Il faut démontrer que la limite S existe et qu'elle est indépendante de la loi suivant laquelle décroissent les faces de la surface polyédrale inscrite.

Nous rapporterons la surface à trois axes rectangulaires, et nous choisirons le plan xj de manière qu'il ne soit perpendiculaire à aucun des plans tangents menés à la surface par les points situés sur le contour C ou dans l'intérieur de ce contour; on peut toujours procéder ainsi en décomposant, s'il est nécessaire, la portion de surface considérée en plusieurs parties, et en regardant l'aire totale comme égale à la somme des aires des parties. Cela posé, soit C la projection du contour C sur le plan dcsx/ ; inscrivons dans le contour C un polygone F' dont

les côtés soient tous infiniment petits, et décomposons ce polygone P en éléments triangulaires a dont les trois côtés soient infiniment petits. Les arêtes du prisme triangulaire qui a pour base a, et dont les arêtes sont parallèles à Taxe des z, rencontreront la surface courbe en trois points, et, si Ton joint ces points deux à deux, on obtiendra un triangle qui sera Tune des faces de la surface polyédrale que nous voulons inscrire; Taire

de ce triangle sera égale à — ri 0 étant l'angle que

forme le plan du triangle avec le plan xy^. D'après cela, si Ton désigne par P Taire totale de la surface polyédrale inscrite, on aura

CCS 9

Mais, si Ton nomme ^ l'angle que forme avec le plan xy le plan tangent mené à la surface par l'un des sommets

du triangle inscrit dont l'aire est — t> il est évident que l'on aura

cosO cosi; c désignant un infiniment petit ; on peut donc écrire

* ' ^ cosÇ ^

oc

cosC

L'ordonnée z de notre surface est une fonction déterminée des variables x eiy; cos^* est aussi une fonction des deux mêmes variables. Considérons alors la surface dont l'ordonnée Z a pour valeur

cosÇ'

GBÀPITIIE V. apS

désignons, en outre, par Y le volume limité par cette surface et par le plan xy dans le cylindre parallèle à Tas^e des z et qui a pour base C^ on aura (n° 581)

(ï) V— limV Z« = lira V -^.

^ ' ^ ^ cosÇ

Donc la première des sommes de la formule (i) a pour limite V; il s'ensuit (n^ 9) que la deuxième somme a zéro pour limite, et Ton a, en conséquence,

(3) iimP = V ou S = V,

ce qui démontre la proposition énoncée.

590. Mais la formule (a) subsiste ( n^ 581 ) quelle que soit la figure des aires infiniment petites a ; on aura donc, pour toute décomposition de Taire C^ en éléments a infiniment petits dans tous les sens,

(4) Sr^liniV-"

^ ' ^ cos

Soient ^o 6t ^i la plus grande et la plus petite des valeurs de ^ pour les différents points situés dans Tintérieur du contour C; la formule précédente donnera

cos ^ ^^ cos V

en désignant par ^' un angle compris entre {^o et ^i, et par A Taire limitée par le contour C. Supposons que Taire A se réduise, à un élément a infiniment petit dans tous les sens ; S se réduira aussi à un élément infiniment petit a, et Ton aura

<osÇ' Soit (^ Tangk formé avec le plan des xy par le plan tan-

^g6 CALCUL INTÉGRAL.

gent en un point quelconque de Télément g; on aura

cosÇ cosÇ Y} étant un infiniment petit ; donc

^ ' cosÇ ^ '

Il faut remarquer que la formule (4) subsiste lors même que le plan tangent de la surface proposée serait, en quelquespoîntsducontourC, perpendiculaire au plan j:^ ; en effet; cette circonstance n'aura plus lieu si Ton substitue au contour C un autre contour Co infiniment voisin, convenablement choisi ; désignant alors par So Taire comprise dans le nouveau contour et par V^ le volume déterminé comme on Ta expliqué au n^ 589, on aura

cette égalité subsiste quand le contour Co varie et tend vers la limite C ; d'ailleurs S© tend alors vers la limite S ; on obtient donc l'égalité (3) en passant à la limite. Quelle que soit l'aire terminée par le contourC, on peut toujours la décomposer en parties telles que le plan tangent delà surface ne soit perpendiculaire au plan xy que pour des points situés sur les contours partiels; il en résulte que la formule (4) convient à tous les cas,

591 . Appliquons ce qui précède au cas d'une surface définie par son équation entre trois coordonnées rectangulaires x,yy z. Soit

(6) dz=zpdx -h qdy,

p et q étant des fonctions données de x et ^ ; on aura

cosÇ ^