CHAPITRE V. ap

Supposons, ce qu'il est toujours possiJble de réaliser, que le contour C de la projection de Taire S à évaluer ne soit rencontré qu'en deux points par les parallèles aux y ; alors l'aire S , égale au volume V, aura pour expression (n° 882)

(7) S= r dxÇ ^7T>~'4^rfr;

y^ et Y désignent les ordonnées y du contour G' qui répondent à l'abscisse x ; x^ et X sont les abscisses correspondant aux ordonnées qui limitent le contour. On peut écrire aussi

(8) S== f d^r f ^T-hp^'hq^dx;

mais ici Xo et X désignent les abscisses des deux points du contour qui répondent à un même y, tandis que yo cl Y sont les ordonnées correspondant aux deux abscisses qui limitent le contour C.

392. 11 est quelquefois avantageux de substituer aux coordonnées x^y les coordonnées polaires p, o). On a

et Ton peut prendre pùp^tù pour l'élément a (n° 584). Alors, si l'origine des coordonnées est extérieure au contour C, et que chaque rayon p ne rencontre le contour qu*en deux points, on aura

po et R étant les rayons des points du contour C qui répondent à une même valeur de o), et coo, Q désignant les valeurs de co qui répondent aux rayons limites du contour. Cette formule est encore applicable au cas où le

2g8 CALCUL ihtégral.

contour C serait formé de deux contours partiels intérieurs Tun à l'autre, l'origine étant dans Tintérieur du plus petit contour et la surface S à évaluer ayant pour projection l'espace compris entre les deux contours; dans ce caS| on a évidemment ci)o= o, Il = 2ir et

(lo) ^— I ^" /

cosÇ

Si le plus petit des deux contours dont on vient de parler se réduit à l'origine des coordonnées, on a jOo = o, et la formule (lo) devient

pdp

(il) s= f rf»r

cosC

Le cosinus de l'angle 1^ s'exprime facilement en fonction des dérivées partielles de z par rapport à p et a>. On a

dx = dp cos&> — p sin fii>^&>, dy zn dp sinca -+- p cosw d(ù\

la formule (6) donne alors

dz , i dz

-<- = p cosw -^ q smw, - -— •=. — p smeA -f- n cosu;

Op p 0(ù

élevant au. carré et ajoutant, il vient

par suite

cosÇ

On a donc

=\A-'-(^;)'-(ër

en se dispensant d'indiquer les limites des intégrales^ afin d'embrasser tous les cas.

GHAPITHE V.

Cas des surfaces de résolution.

593. Dans le cas des surfaces de révolution^ Tîntégrale double qui exprime Taire de la zone comprise entre deux plans perpendiculaires à Taxe se réduit immédiatement à une intégrale simple.

Soit CM D une courbe rapportée à deux axes rectangulaires Ox, Oy situés dans un plan, et supposons que Ton demande l'aire S de la zone engendrée par Tare CD tournant autour de l'axedesx. Considérons d'abord le cas

OÙ Pordonnée j^ de la courbe est constamment croissante ou décroissante quand on passe d'une extrémité à l'autre de l'arc CD ; l'aire demandée S aura pour projection, sur le plan perpendiculaire à Oa?, l'espace compris entre les deux cercles décrits de l'origine comme centre avec les ordonnées CA = roi DB = Y des extrémités de l'arc. On peut donc appliquer ici la formule (lo) du n^592 en écrivante^ au lieu de p et en prenant pour ^ l'angle du plan tangent à la surface avec le plan perpendiculaire à Ox ; on a ainsi

cos(

Or, par la nature de la surface, X^ ne dépend pas de w; on peut donc faire sortir le facteur \ — -^ du si^ne |

3oO CALCUL INTÉGUAL.

relatif à &>, et Ton a

H>xf/^.-£

cosÇ

le plan tangent d'une surface de révolution étant perpendiculaire au plan de la courbe méridienne, ^ est l'angle formé par la tangente de celte méridienne avec Taxe des j ;

=z -'- "^^ Tare de la courbe. On a ainsi

par conséquent) cos^=: z!z -'-> cf^étantla différentielle de

'^ ds

±:27r / y^dx.

le signe ±i devant être remplacé par le signe de Y — Jq ; si :ro et X^oTo désignent les abscisses qui répondent aux ordonnées yof Y, on pourra écrire aussi

s = 27r ( y ---dx.

Il est évident que cette dernière formule subsistera quel que soit Tare de courbe CD, car on peut toujours décomposer l'arc CD en parties telles que de l'une des extrémités à l'autre de chaque partie l'ordonnée varie dans le même sens. Notre formule s'appliquant à chaque partie, elle s'applique aussi à leur somme.

594. On peut établir directement la formule que nous venons d'obtenir. Effectivement, inscrivons dans l'arc CD une ligne polygonale dont les côtés soient infiniment petits. Chacun de ces côtés MM' engendrera un tronc de cône ; inscrivons dans chaque tronc de cône une surface polyédrale formée de faces quadrangulaires dont deux côtés soient des arêtes infiniment voisines du tronc de cône ; chacune de ces faces étant ensuite décomposée en triangles par une diagonale, nous aurons une surface po-

CnAPlTRE ¥• 3oi

lyédrale qui sera inscrite à la fois dans la surface de révolution proposée et dans la surface composée des troncs de cône inscrits. Il résulte de là que la surface demandée S est égale à la limite de la somme des surfaces des troncs de cône. Or, si x^y désignent les coordonnées du point M, X H- Ax, y -H ^y celles du point M', la surface engendrée par MM' sera

ir f ^ 4- — j v/Ax* -h A7*

ds , ,

aîTj-- A.r i4-«),

en désignant par s Tare de la courbe et par z un infiniment petit. D'après cela, on a

ou

ou

S := lim \ 27r r -7- Ao?

Z^ '^ dx

ds .

895. Aire de l'ellipsoïde de révolution. — Cherchons Faire d'une zone de l'ellipsoïde de révolution. Soit

l'équation de l'ellipse qui engendre la surface en tournant autour de l'axe des x ; on a

ds b z

-^ dx a^^ ^ '

L'aire engendrée par l'arc compris entre l'extrémitâ du demi-axe i et le point qui répond à l'abscisse x sera

S=27r— / sjià—[u^^ b*).r^tlx',

il convient de distinguer les cas de a > è et de a<^b.

3oa CALCUL INTÉGRAL.

Sia'^b, Felllpsoïde est de révolution autour du grand axe ; on a

i y^«' — (a* — ^»«)j:Vx

«* y/g*— (fl*— 6«).rg ^

arccos ,

1 > i ! ^ ^— arc coa ^— r ^ — .

S = 1 ' 1 — arccos

Si Ton veut l'aire totale de Tellipsoïde, il faut faire x=a et doubler ensuite le résultat-, il vient ainsi

S = aTTÔ' -i -^ arccos ->

ou, en posant b = a cos -»

Si b = a^ 7 = Oy l'ellipsoïde se réduit à une sphère, et l'on retrouve la formule connue S = 4^û*»

Supposons en second lieu a<^b] dans ce cas l'ellipsoïde est de révolution autour du petit axe, et l'expression de S est

Srr:^ r ^a* + ( 6* -^ a» ) x« ^ir OU

S = ï ^ ^ h ^ log — ï j î^ £ — 1

faisant x = a dans cette formule, et multipliant ensuite

CnAPITRE V.

par 2, on obtient l'aire totale de Tellipsoïcle, savoir

Jb^ — ««

si l'on pose

la formule précédente deviendra

S = 27rô«ri-+-7-7-— ^ — -ri,

ce qui, pour i = a ou y = o, se réduit à Jittà^j expression relative à la sphère.

jipplications de la méthode pour la détermination de Voire des surfaces courbes quelconques.