Problème L — Trouver l'aire d*un triangle sphérique
Un triangle sphérique pouvant se décomposer en deux triangled rectangles par un arc de grand cercle abaissé
d'un sommet perpendiculairement sur le côté opposé, il nous sufïira d'examiner le cas du triangle rectangle.
3o4 CALCUL INTÉGRAL.
Soit le triangle sphérique ABC, rectangle en A, que nous rapporterons à trois axes rectangulaires passant par le centre de la sphère ; nous prendrons pour plan des xy le plan du côté AC, et nous ferons passer l'axe des x par le sommet C. La ligne OA est la trace du plan du côté AB sur le plan xy^ et, si Ton abaisse du sommet B la perpendiculaire BP sur OA, l'arc de cercle BC se projettera suivant un arc d'ellipse CP ; il s'agit donc de trouver l'aire de la portion de sphère qui se projette à l'intérieur du triangle curviligne ACP.
L'équation de la sphère est
et celle du plan du côté BC est
a — jtangC,
C étant l'angle au sommet du même nom dans le triangle. En éliminant z entre les deux équations précédentes, on a l'équation de l'ellipse GP, savoir
cos^C
d'où l'on tire, en remplaçant x et y par les valeurs pocosci), i^osinco,
RcosC
V^ 1 — sin* C cos* w
Le cosinus de l'angle que fait le plan tangent de la
sphère avec le plan xy est — ou - — - — ^ 9 et l'élément de
la surface sphérique est ^ ' L'intégration relative
à p doit être faite depuis la valeur /^o» qui convient à TellipsCy jusqu'à jo = R ; celle relative à &> doit être faite
CHAPITKB Y. 3o5
depuis w = o jusqu'à w = — > J étant la longueur du côté AC; ainsi l'expression de Taire demandée S est
Oaa
R'sînCsinci)
sin'Ccos'«>>
donc
Jo VI — sin* C ces* M
L'intégrale indéfinie de la différentielle sous le signe / est •— R^arcsin (sinC cosco) -H const. ; on a donc
S = R* j C — arcsin ( sinCcos ^ ) h
mais, par les formules de la Trigonométrie sphérique, sinGcos^estégalàcosBouàsinf Bjj et, par suite,
ce qui est la formule connue.
597. Problème II. — Etant donnée la sphère qui a pour équation en coordonnées rectangulaires
s. — Cale, inc. ao
3o6 CALCUL IIITÉGRAL.
trouver l'aire de la portion de cette sphère gui se projette sur le plan xy^ dans l'intérieur de la courbe dont V équation en coordonnées polaires est
P— y-(ï-taiig«M).
L'élément de la surface sphérique est, comme dans le problème précédent, et à cause de R = i,
fydpdi
fù
La courbe donnée est symétrique par rapport aux axes des X et des^; il suffit donc de déterminer Taire sphérique qui se projette sur l'un de ses quadrants, celui qui
répond aux valeurs de w comprises entre o et j • Le rayon vecteur de cette courbe est plus grand que i pour les valeurs de 0) comprises entre o et ^9 mais il est inférieur à
I pour les valeurs de o) comprises entre r^ et -7 ^ donc Taire
que nous avons à évaluer se compose de deux parties, savoir celle qui se projette sur le secteur circulaire dont
Tangle est ^9 et celle qui se projette sur le segment de la
courbe donnée dont la corde fait, avec Taxe des Xy Tangle
?T* Pour la première partie, les intégrations devront être
faites dep = o à|0 = i et de ti) = oàa)=^-, pour la deuxième partie, Tintégration relative à p doit être faite
de p = o à p = i /- (1 — tangue»)) et celle relative à ci) de
CHiPITUB V. 807
cd = ^ a w = -7 • Un a ainsi 6 4
ic X 13
J/»ï /»! • /»- r*\-{i — tantôt»)
0 Jo VI — P" ./tî «/p
or
/^ 3 ddi 2 COS*» /* 2COS6)^(U
La première intégrale a pour valeur
i/ - log ( tangu -h i/ tang*&» — 0 ) -*- const.,
et la seconde
^logl sino) -h i /sin'w — 7 ) ^- const.;
on conclut de là
S= ^ 4. ^2log(v/i + i) - y/|log(v/3 -l-v/ï).
Formule générale pour la détermination de l'aire
des surfaces.
598. Considérons d^abord le cas d^une aire plane limitée par un contour C, et supposons que les équa-* lions ^
(i) a = «, 9=zp,
ao.
3o8 CALCUL INTÉGBÀL.
dans lesquelles uets^ désignent deux fonctions des coordonnées X et ^, a et j3 deux paramètres variablesy représentent deux séries de lignes telles que par chaque point de Tintérieur du contour G on puisse mener une ligne de chaque système; nous admettrons que ces lignes ne rencontrent le contour G qu'en deux points. Les équations (i), résolues par rapport à x ety^ donnent
On obtient une ligne de la première série en faisant varier dans ces formules le paramètre |3, après ayoir attribué à a une valeur déterminée ; de même la variation de a, le paramètre |3 demeurant fixe, donne une ligne de la seconde série. Divisons^ comme au n*' SSl, Taire S en
parties infiniment petites dans tous les sens au moyen des lignes a et (3; Taire S sera la limite de la somme def quadrilatères ABA|B| déterminés par les lignes qui correspondent aux valeurs «,«-+- A«, j3, |3 -H ^|3 des deux paramètres. Pour évaluer Taire du quadrilatère ABA|6|, nous supposerons d'abord que les accroissements Aa, A{ï ne sont pas indépendants Tun de l'autre, mais que leur rapport reste voisin d'un nombre fixe, de Tunilé par exemple; alors, Aa étant pris pour infiniment petit principal, A(3 sera du premier ordre. Menons
