X---î---^--i (i -he]dadQdy, </« d^ dy
€ désignant une quantité qui s'annule avec les trois accroissements rfa, r/(3, dy.
Cela posé, soitV un volume déterminé quelconque ; il est évident que ce volume sera égal à la limite de la somme des parallélépipèdes curvilignes infiniment petits contenus dans ce corps et déterminés par les trois sj^stèmes de surfaces dont nous avons parlé. Ainsi l'on aura
^ doL d^ dy ^ '
ou
Les limites des intégrations se détermineront sans diflî-
cBÂpmE V. 3i5
culte, comme dans les cas examinés précédemment, si la surface du corps considéré n*est rencontrée qu'en deux points par les courbes intersections des surfaces coordonnées ; quand le contraire aura lieu, il sera nécessaire de décomposer le corps en plusieurs parties que Ton évaluera séparément.
La formi|le précédente se simplifie quand les surfaces coordonnées sont orthogonales, car la quantité A", qui est en général une fonction des variables or, |3, y, se réduit alors à l'unité.
Cas particulier des coordonnées polaires.
602. Dans le cas des coordonnées polaires, les points de l'espace sont déterminés par trois familles de surfaces orthogonales. Construisons préalablementtrois axes rectangulaires Ox, O^, Oz ; la première famille se composera des sphères qui ont pour centre l'origine et dont nous désignerons le rayon par r ; la deuxième sera formée par des cônes de révolution autour de Taxe des z, dont l'angle générateur sera représenté par 0 ^ enfin la troisième famille se composera de plans passant par Taxe des z et faisant, avec le plan zXy un angle <fi.
Le rayon r varie de o à + oo ; l'angle 0 qui est formé par la direction du rayon r avec la partie positive de l'axe des z varie de o à i8o degrés ; enfin l'angle tp est égal à celui que forme la projection du rayon r sur le plan xj avec l'axe des or ; il se compte en marchant de la partie positive de l'axe des x vers la partie positive de l'axe des 7, et il varie de o à 36o degrés.
Chaque sphère est coupée par les surfaces coordonnées des deux autres familles, suivant deux systèmes de lignes orthogonales, savoir un système de parallèles et un système de méridiens, et elle est alors décomposée en reo-
3l6 CALCUL INTÉGRAL.
4;angles infiniment petits, qui ont pour côtés des arcs de cercle répondant à des angles au centre égaux à dO et df^\ les rayons de ces arcs sont d'ailleurs égaux à /* et à rsinO respectivement, d'où il suit que les côtés de notre rectangle sont rd9, rsmOd^, Ce rectangle est la base de l'un des parallélépipèdes curvilignes que déterminent les trois surfaces considérées ; quant à la troisième dimension de cet élément, elle est évidemment dr. D'après cela, le volume des corps sera déterminé par la formule suivante :
-ffi'-
(irsmQdOd^.
Supposons que l'origine soit extérieure au corps, et désignons par To, R les valeurs de r à l'entrée et à la sortie du corps; l'intégration relative à /• devra être exécutée
entre les limites ro, R ; or on a 1 r^ dr = -^ r' -4- const.; donc
.V = ~ C C{K^^rl)smOded^.
L'intégration relative à 9 doit être faite entre les valeurs Oq, 0 qui répondent aux limites du corps et qui sont des fonctions de ^ ; enfin l'intégration relative à ^ doit être faite entre les valeurs <po> ^ qui répondent aux deux plans entre lesquels le corps est renfermé; ainsi l'on peut écrire
V = ^ f d^ f (R' — rj) sinô dO,
Supposons maintenant que l'origine des coordonnées soit à l'intérieur du corps. Dans ce cas, l'intégrale relative à r doit commencer à zéro, et les intégrales relatives k 6 ei^ doivent être prises, la première entre
