CHAPITRE Y
o et TT, la seconde entre o et 2ir. On a donc
"iX""*/""""
sinQdB
603. Nous venons de voir que chaque sphère de rayon r est décomposée en rectangles infiniment petits qi> dont les côtés sont égaux à rd9, rsinOd^ ; on a donc
fa = y^sinOd$d^[i -+- c),
e étant un infiniment petit, et l'aire d'une portion de sphère pourra être déterminée par la formule
S = f^ C CsinedOd^.
Supposons, par exemple, qu'on veuille trouver l'aire d^un triangle sphérique au moyen de la formule précédente. Soient Â, B, C les angles de ce triangle, dont les
sommets seront désignés parles mêmes lettres ; je prendrai pour axe des z le rayon OA de la sphère ; puis, menant un grand cercle perpendiculaire à OA qui coupe en deux points I et J le grand cercle auquel appartient le côté BG, je prendrai le rayon 01 pour axe des j^ ; Taxe des X doit être perpendiculaire à OA et à 01: je choisirai la direction, qui est telle que la valeur (j; relative à C sur*
3l8 CALCUL INTÉCKAL.
passe celle qui se rapporte à B, en supposant que ^ croisse quand on marche de Taxe des x vers l'axe des^. Cela posé, considérons un point M se mouvant sur le côté BC de B vers C, et menons l'arc de grand cercle AM qui, prolongé s'il le faut, coupera en N le grand cercle situé dans le plan xy. Si l'on désigne par ^o ^^ valeur de ^ qui se rapporte au point B, et que l'on prenne pour unité le rayon de la sphère^ l'aire T du triangle sphérique sera donnée par la formule
d^ j sïnedd= I (i— cosAM)^Ô,
ou, à cause de cosAM = sinMN,
' ^+— / sinMN^^fi = A— / sinMNrftp.
Mais on a, dans le triangle sphérique rectangle MNI^
• nMKi sinlcos^f» • T • I
sm MN = — . ^, ? CCS M = smi sinu», smM ^
et la dernière de ces formules donne par la difFérentiation
d^ = -^ .^"^^ , dM, d'où sinMNrf4» = — é/Mi ^ smicosy
on aura donc
enfin, comme on a M = tt — B pour (p = «po et M n= C pour ij^ = (j/o ■+- A, on aura
ce qui est la formule connue.
chapithb V. 3 19
604. Considérons maintenant une surface courbe quelconque dont un point M ait pour coordonnées r, 9, ^^ et construisons la sphère de rayon r qui a pour centre l'origine des coordonnées. Le cône qui a pour sommet cette origine et pour base Félément &> de la sphère déterminera sur la surface courbe un élément a dont tt> sera la projection conique sur la sphère r. Soient a , w'ies projections orthogonales des éléments o-, Ce) sur le plan tangent en M à la sphère. Faisons tourner un plan autour de OM ; la trace de &> placé sur le plan tangent déterminera deux rayons .vecteurs, issus du point fixe M, des contours de </ et o)'. On voit aisément que le rapport de ces rayons vecteurs tend vers Tunité lorsque Télément c devient infiniment petit dans tous les sens; il en résulte que la projection de c sur le plan tangent en M ne diffère de o) que d'une quantité infiniment petite par rapport à cette projection, et l'on peut prendre
cos2; cosC
f étant Tangle formé par le rayon r avec la normale de la surface.
Les tangentes des côtésr^det r sind^vj^de l'élément ^o) forment avec le rayon r un système d'axes rectangulaires auxquels on peut rapporter la surface que nous considérons. Pour le point M les trois coordonnées sont nulles ; en outre, quand les deux premières coordonnées croissent successivement de rdO et de rsinOd^^ la troi-
dr sième coordonnée prend les accroissements — dO ,
dr
-^rfvp. En désignant par;? et q les rapports de ces derniers accroissements à ceux des coordonnées qui les
3ao CALCUL intégual.
produisent, on a
__ I ^ là?
Mais, d'après les formules en coordonnées rectangulaires, relatives aux normales, Tangle X^ a pour cosinus
on a donc
rsinO
COSÇzr:
v^fâO"-J--(èT
et Taire S d'une portion de la surface sera déterminée par la formule
Du changement de variables dans les intégrales
multiples,
60S. La recherche des volumes terminés par des surfaces courbes et celle des aires de ces surfaces se ramènent, comme on l'a vu, à la détermination d'intégrales doubles qui, dans le système des coordonnées rectangulaires, ont pour expressions générales
D'autres questions conduisent aussi à des intégrales triples, quadruples, etc., et, dans tous les cas, l'intégration doit s'étendre à toutes les valeurs des variables qui satisfont à certaines conditions exprimables par une ou
