DE L'INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELT.ES

Objet du Calcul intégraL

406. Nous avons fait connaître, dans le Calcul différentîely les règles au moyen desquelles on obtient les différentielles des divers ordres des fonctions d^une ou de plusieurs variables indépendantes; nous avons montré en outre qu'en combinant des équations données où figurent plusieurs variables, avec celles qu'on en déduit par la différentiation, on peut éliminer certaines quantités arbitraires et former ce que nous avons nommé des équations différentielles ou des systèmes de telles équations.

Le Calcul intégral a en vue les problèmes inverses. II a pour objet : i*" la détermination des fonctions d'après leurs différentielles; 2° la recherche des relations qui lient entre elles plusieurs variables assujetties à satisfaire

s. — Cale. int. I

9 CALCUL H^TÉGRAL.

à des équations différentielles données. Le premier problème est évidemment compris dans le second, et il en constitue le cas le plus simple ; un grand nombre de questions importantes viennent s'y rattacher, et il sera pour nous le sujet d'une étude approfondie.

Nous devons faire remarquer ici que nous avons eu plusieurs fois l'occasion, dans le Calcul différentiel, de traiter des questions qui appartiennent proprement au Calcul intégral. Ces questions, que nous avons pu résoudre au moyen des propriétés fondamentales des fonctions dérivées, sont une utile préparation aux théories que nous avons à exposer.

Des intégrales indéfinies et des intégrales définies*

407. Soîty(a:) une fonction réelle d'une variable indépendante 07, que nous supposerons continue pour les valeurs réelles de x comprises entre deux limites Xq et X. Nous avons vu (n° 187) qu'il existe toujours une fonction ayant pour A\Sévenl\eWef{x)dx\ effectivement, si l'on trace deux axes rectangulaires Ox, Oj, que l'on construise la courbe CMD dontl'ordonnéej^soit égaleày(a:), et que l'on mène deux ordonnées CA, MP qui répondent à deux abscisses comprises entre Xq et X^ l'une de ces abscisses étant déterminée et l'autre x étant regardée

Comme variable, l'aire ACMP sera une fonction de or,

qui a pour dérivée/ (x) et pour différentielley(j:) dx.

D'ailleurs, pour que deux fonctions aient la même dif-

CUAPlTaE I.

férentielley il faut et il suffit que la différence de ces fonctions soit constante; donc il existe une infinité de fonctions ayant pour différentielle y*(a:)£tr, et ces fonctions ne diffèrent entre elles que par une constante. Notre construction nous indique l'existence de toutes ces fonctions, puisque l'ordonnée fixe CA, à partir de laquelle est comptée l'aire ACMP, a été choisie arbitrairement; si, au lieu de cette ordonnée, on en prend une autre C'A', on obtiendra une aire nouveUe A'C'MP qui aura encorey(a:)rfj:pour différentielle.

La fonction dont la différentielle est f{x) dx renferme ainsi une constante arbitraire; elle est dite Vintégrale indéfinie ou simplement V intégrale de la diffé^ rentielle f [x) dxy et on la représente par

f[x)dx.

D'après cela, si F (a:) désigne l'une des valeurs de cette intégrale, c'est-à-dire l'une des fonctions qui ont^/'(x) dx pour différentielle, on aura

(.) J/{x)dx=F[^)-hC,

G étant une constante arbitraire.

408. Le problème qui a pour objet l'intégration d'une différentielle donnée deviendra déterminé si l'on ajoute la condition que l'intégrale se réduise à zéro pour une valeur donnée Xo de x. Effectivement, la constante G de la formule précédente devra être telle, que Ton ait

F(aro)+C = 0,

et il viendra

cette expression sera celle de l'aire ÂCMP considérde

4 CALCUL IITTÉGIIAL.

plus haut, si l'on suppose que l'ordonnée fixe CA réponde à l'abscisse Xq.

Si l'on donne à j: la valeur déterminée X, l'intégrale (2) prendra une valeur déterminée égale à

F(X)-F(xo); on la représente par

et elle est dite Vintégrale définie de la différentielle f{x) dx prise à partir de x =z Xq jusqu'à a: = X ; ainsi Ton a

(3) r/(x)^ = F(X)~F(aro).

Cette intégrale a pour valeur l'aire AGDB, comprise entre la courbe donty*(x) est l'ordonnée, l'axe des x et les ordonnées CA, DB qui répondent aux abscisses Xq et X. Or nous avons vu (n*** ip et 188) que si l'on divise l'Intervalle X — x© en /i parties égales ou inégales représentées généralement par ^07, puis que l'on construise des rectangles intérieurs et extérieurs ayant pour bases ces diverses parties et pour hauteurs les ordonnées correspondantes de la courbe CD, la somme de ces rectangles/ (x) Ax tend vers une limite égale à l'aire ACDB, quand les ^x tendent vers zéro et que leur nombre augmente indéfiniment. Il en résulte que l'on a

(4) / f[x]dx = \im^f[x)^x.

jr =xo

ce qui exprime la proposition suivante :

Z' intégrale définie de la différentielle f{x)dx prise