CHAPITRE I

de X == Xq à X = 1L est la limite vers laquelle tend la somme des valeurs que prend la différentielle/ [x)dx ou/{x)AXf quand x varie de Xq àH en prenant des accroissements successifs infiniment petits.

C'est en raison de cette propriété qu'on a choisi le signe f, initiale du mot somme, pour représenter les intégrales.

Le raisonnement que nous venons de faire ne suppose pas que la fonction y*(x) conserve le même signe quand X varie de Xq à X, ou que la limite supérieure X soit plus grande que la limite inférieure Xo ; si l'on a X<^a:o> les accroissements ùx sont négatifs et chaque produit f{x)^esiy dans tous les cas, positif ou négatif, selon que ses facteurs ont le même signe ou des signes contraires.

409. La notation dont nous faisons usage pour représenter les intégrales définies peut être employée avec avantage dans le cas des intégrales indéfinies. Reprenons en effet la formule (3) et considérons la limite supérieure X de l'intégrale comme une variable; on peut alors écrire x au lieu de X, et il viendra

cette expression représente l'une des valeurs de l'intégrale indéfinie delà différentielley(x)da:, savoir, celle de ces valeurs qui s'annule pour x=iXo\ on a donc

vG) Çf[x)dx= Ç /[x)dx-\rC,

G étant une constante arbitraire.

La limite x^ peut être choisie à volonté, en excluant cependant les valeurs particulières pour lesquelles F (xo)

6 CALCUL ITfTÉGRÀL.

serait infinie ; si on la regarde comme une constante arbitraire, F(a:o) sera elle-même une constante arbitraire, et Ton pourra écrire simplement, à cause de la formule (5),

Çf[x)dx= Ç f[x]dx',

mais il vaut mieux, en général, se réserver le droit de fixer la limite à partir de laquelle commence l'intégrale et laisser subsister la constante arbitraire dans le second membre de la formule.

Des procédés d^ intégration,

410. Quelle que soit la fonction explicite ou implicite /(x) de la variable réelle a:, pourvu qu'elle soit continue dans un certain intervalle, il existe, comme nous l'avons démontré, une fonction bien déterminée qui a pour diiTérentielley(ar) dx et qui se réduit à zéro pour une valeur donnée quelconque Xq de x. Nous sommes convenus do représenter cette fonction par la notation

rf{x)da:,

mais il est naturel de chercher à l'exprimer, quand cela est possible, par le moyen des éléments analytiques connus, c'est-à-dire par les fonctions a/g-eiriyuej, logarithmiques, exponentielles et circulaires. Cette recherche constitue ce que Ton nomme Vintégration de la différentielle y(x)c/a:; elle fera l'objet des développements que nous nous proposons de présenter ici et qui sont nécessairement bornés à un petit nombre de cas.

411. Cas d'une hîtégrale exprimable par une fohc- TioH SIMPLE. — Nous dcvous avant tout rappeler les