CHAPITRE V. 3a I
plusieurs inégalités. Lorsqu'on peut effectuer l'intégration relative à Tune des variables, l'intégrale multiple se réduit à une intégrale d'ordre inférieur d'une unité, et, quand il n'en est pas ainsi, on peut quelquefois opérer la i^éduction par un changement de variables. Considérons, par exemple, l'intégrale double
dans laquelle V désigne une fonction donnée de x et dej^, ► et supposons qu'on veuille substituer aux variables jr et/ deux nouvelles variables u eX v liées aux premières par deux relations données. Quelle que soit la portion du plan des xj qui comprend les points (a:,j) auxquels l'intégration doit s'étendre, l'intégrale U se composera d'un ou plusieurs termes de la forme
J9 et j'^ désignant deux fonctions données de x, et Xo, X\ étant deux constantes. On peut évidemment supposer quej^ et x croissent constamment de la limite inférieure à la limite supérieure, ce qui revient à dire que dx et dj sont positifs. Cela posé, des équations données entre x, y^ M, V on peut tirer la valeur Aej en fonction de x et de V ; soit
et considérons l'intégrale I Vf/^ , où xpeut être regardé
■^* comme un paramètre constant. Si l'on y remplace j^ par
/(x,i^),c/7 par -^j^rfi', elle deviendra 1 V ^-^rf^',
Vo et Vi étant les valeurs de v qui répondent à y -^ j^o>
S. — Calc. int. ai
322 CALCDL INTÉGRAL.
y =j^|. Nous supposons îci que ^^ varie toujours dans le même sens, quand j^ varie àç,y^ à y^ ; s'il en était autrement, on rentrerait dans cette hypothèse en décomposant rintégrale relative à j en plusieurs parties. Comme dy
df{x (•) est supposé positif, ds^ a le signe de -: — j-^ : si cette dé-
rivée est négative, on peut ramener dv à être positif en changeant les limites de l'intégration, en sorte que Ton aura
±: —^'~ — désignant la valeur absolue de -J->-f~J. , et
Ov " Ov
l'intégrale relative à t^ étant prise entre les limites v^ et K^i ou V\ et f^o» D'après cela, la valeur de Z sera
Ce résultat nous donne le moyen d'achever la substitution que nous avons en vue ; car soit
la valeur de a: en u et f' : il suffira de remplacer dx par
, âF(n. v) j ,,
:t2 - — du^ et 1 on aura
formule où les intégrations doivent être étendues aux mêmes points que dans la formule (a).
Mais si l'on différentie l'équation j^ =y(x, v)y en considérant x ely comme fonctions de u et i^, on a
--- dtt -h ~- dvz=z ---^r — du -^ -x- dv ] A '- dv
Ou ov ox \i)u ov I dv
d'où
CnAPITRE V.
dy
àf[.r, p) dx
du~
dx ôu^
âr
à/{'ry(^) dx , df{x,v)
ôp dx dv àv
. j dx d¥{u,v]
et par suite, à cause de -r = ^ ^j
r ^ du du
àf[x, v) dY(u,v) __ dx dy dx dx ÔP du du ÔP dv du
La valeur de z devient, en conséquence,
la fonction V étant exprimée en u et ^.
606. On peut encore arriver au résultat qui précède en faisant usage des considérations développées au n° 598. L'intégrale Z peut être regardée comme représentant un volume composé de prismes élémentaires Ydxdj dont les bases dxdj remplissent une portion du plan xj. Or deux équations telles que
où II et V désignent deux paramètres variables, représentent deux systèmes de courbes, et deux courbes infiniment voisines de l'un des systèmes détermineront avec deux courbes infiniment voisines de l'autre un parallélogramme infiniment petit, dont Taire sera ds^ds^smiy dsi et ds2 étant les éléments infiniment petits des courbes u et u, et i l'angle de ces éléments. Le volume que représente Z sera évidemment la somme des volumes élémentaires Ydsi ds2 sini, et l'on aura
YdsidSfSmi.
3a4 CALCUL INTÉGRAL.
Mais X et j sont fonctions de m et i^ ; si Ton demeure sur la courbe m, v variera seul et Ton aura
, dx dr ^
dv Ov
d'où
-'=\jm-m*'
si, au contraire, on marche sur la courbe ^^, u sera seul variable et l'on aura
dx^=-T- du^ dy z= — du, ou ou
d'où
Les cosinus des angles formés par dsi et par ds^ avec les axes des j: et desj^ étant proportionnels respectivement à
dx ôr àx dy
-T- et -/- » -T- et .- ï on a
àv ov ou ou
COSf =
dx dx dy dy du dv du dv
8ini =
v/ir:)"*(l)V(ë)"-(-l)'
(dx dy â.r dy\ \ du dv ôp du I
d'où
\/i%)'-m'\/^ii-^i)'
et par conséquent comme on Ta déjà trouvé.
