CHAPITRE y. itlS

Par exemple , le passage des coordonnées rectangulaires X elj aux coordonnées polaires p et o), liées à x et j^ par les équations

X = p ces fil), X ^^ p sin cj,

conduira à la formule

les éléments pdpdtù sont ici des rectangles dont les côtés dpy pd(ù sont les éléments respectifs de ligries droites menées par Torigine et de circonférences ayant cette origine pour centre.

607. En général, si Ton a une intégrale multiple d'ordre n, telle que

Ydxdjr .. •dz^

et qu'aux n variables x,jr,...,zonen substitue n autres u,y,...ySVf liées aux premières par des relations données, on aura

f f^-. Çvdxdy...dz= f f'.. C[±Ty)ydudç...dM',

D désignant le déterminant

di "

àx du

àx

ôz dz du ôv

Ce théorème est démontré par ce qui précède dans

CALCUL INTÉGBAL.

le cas de deux variables xely : il suffît donc de l'établir pour n -h I variables, en admettant qu'il ait lieu pour n variables.

Soit donc l'intégrale d'ordre /i -I- 1

Ydxdjr , . . eizels,

et supposons qu'on veuille substituer aux variables x, y^ . . . , z^ s les /z -7- I variables ix, ^^ . . . , çv, i. On peut commencer par exprimer les n variables x, j, . . . , -s en fonction de s et des n variables nouvelles UyV^ . . . , w, l'intégration relative à s devant alors être effectuée la dernière. Par ce changement de n variables, on aura> d'après ce que nous admettons,

A désignant le déterminant

An:

âx

nous employons ici la lettre d pour exprimer les dérivées partielles prises dans l'hypothèse où les variables indépendantes sont s el Uy v^ . . . , w, tandis que nous réservons la lettre à pour le cas où les variables indépendantes sont Uy i*, . . . , w, t. Or, en différentiant Tune des variablesa?^ 7 , . . . , z dans cette dernière hypothèse, d'abord par rapport à l'une des variables iiy v^ . . . , w.

CaAPITIlE V.

puis par rapport kt, on a

Sx â.r ds

Sxds

Su'^Ssdu' dt^'âsôt'

d'où

dt ds ds du

et Ton aura des expressions semblables pour chacune des dérivées qui figurent dans la valeur du déterminant A.

Cela posé, dans l'évaluation de U, Tintégration relative à s peut être efTectuée la première, après la substitution dont nous venons de parler, et, d'après ce qui a été dit en commençant, si Ton exprime 5 en fonction de t et de u,

f , . . . , çv, on devra remplacer ds par -- dt] on aura donc et l'expression de A pourra se déduire de la suivante :

du:

■ — • < dv

àx du

# tt S

Ôz

ôz

Ôii^

, dx dx ôt du

en remplaçant -- ? • • • par ^ . - . - 0 • • •

^ ^ Ou ^ au ds du

dt Désignons par D^, D^, . . • , D^ les résultats que Ton

328 CALCUL IKTÉGBAL.

obtient en exécutant sur D, une, deux, trois, . . . fois la substitution circulaire qui consiste à remplacer x, r, . . . , z, s respectivement par j-, . . . , z, 5, x. Comme un déterminant ne fait que changer de signe quand on change Tune en Tautre deux lignes parallèles, il est facile de voir que la substitution de s k x,yy . . . , z changera D, en — D;r> — D/» ...» — D, si le nombre n des variables Xy j'f . . . , Z est pair, et en 4- D^, — D^, . . . , D, si le nombre n est impair, les signes étant alternativement -4- et — dans ce dernier cas.

Cela posé, remplaçons dans l'expression de D, les

dérivées de x, savoir : - - , . . . , par les valeurs

ou ^

djr. dt ds

OU US ou

on obtiendra, d'après ce qui vient d*étre dit, le résultat

ùt Si dans cette expression on remplace les dérivées de^,

. dr , , dy ôt ds ^

savoir -f-? •••» par les valeurs -r r- x- » •••» l^x ^^

ou * du os ou

Tt changera pas, car ce déterminant s'annule quand on y

met s au lieu de j^ ; on aura donc le résultat

d.r dy

IJi ^ dt

ds ds

'ôt "dt

Df \^ ui ^ ut ^