CHAPITRE y
et Ton voit facilement que, si Ton remplace les dérivées des autres variables, jusqu'à celles de z inclusivement, par les valeurs indiquées, Texpression de Dj deviendra définitivement
dx dy dz
dt
dt
ds dt
en sorte que l'on aura
ds ^ ds , ^ dx
^^ =^s■:^^^x'T■ dt * dt ' dt
dr
dz
^ dt * dt
Or, on sait que le second membre de cette formule est précisément égal au déterminant
dx
dx
dx
dx
du
dp
dtv
dt
dr
dr
dj
dy
du
àv
dtv
dt
dz
ds
B s ft •
dz
âz
du
dv
dw
dt
du
ds
ds
ds
ds
dv
(Iw
dt
on a donc
dt
et par conséquent
V= f f... j j{7tD)Ydudv...d(vdt,
ce qui démontre la proposition énoncée.
608* Considérons en particulier les intégrales multiples qui se rapportent à l'évaluation des volumes et
33o CALCUL INTÉGUAL.
des surfaces courbes. On a, pour Pexpression des volumes en coordonnées rectangulaires,
dxdydz^
et, si Ton substitue à x, j^, ^ les trois variables m, Çy çv, il viendra
A du dv dr-j J J J
avec
^/d.râr dxôj\ dz (dy àz ârâz\âx /dz dr dzdxS. dy ^ \du ôv dv du) dw'^Xôu dv au ou) Oi*' ^ \du Oi* du du) dt^
Supposons que l'on prenne pour u, i^, w les coordonnées polaires r, 6, tj/, liées kxjjy z par les formules
a:=r:rsinOcosA!/, ^ r=^sin6sin^p, z = rcosô,
on aura
dx . ^ , àx ^ » àx . /i . I
— =:sinOcosi}>, — =: rcosOcosy, ;rî" = — rsmesim};,
^X • /v . . dr ^ . , àjr . , .
-^- = smô sinij, -' = r cosO smif, -77 = rsmd coso, dr ^' dô C^iJ'
--- = cosO, T7 = — rsmO, -~- =0,
dr ' dO * dz ^
ce qui donne
A = r'sînO ;
on aura donc, pour l'expression du volume U en coordonnées polaires.
sin 0 drdQ d-^^
et, si r croît constamment entre les limites r© et R fonc-
CHAPITHE V.
tîons données de 6 et ^y on pourra écrire
U = i C ÇiR^-- ri) sine d$d'i,,
comme on Ta déjà trouvé (n*' 602).
609. Passons maintenant aux aires des surfaces courbes; quand on emploie les coordonnées rectangulaires a: et;^, la détermination de ces aires dépend de l'intégrale double
OU p et q désignent les dérivées partielles t- et -r-- Si
l'on substitue les nouvelles variables u^v kx ei j, oa aura
J J \dudv dv ôuj^
i -{- p--\- q^ du tlv 5
mais on a
dz dx dr àz dv dy
ou ou ou o\> Ov ^ Ou
d'où
fda? ÔY dx dx\ /dz dy àz dy^
^ \du ôp dv du) \ou dv âc du) '
/ dx df dx dv \ / dx dz dx dz \
\ du dv dv du J \ du dv dv du )
et, en substituant ces valeurs de p et g, il vient
J J \ \du dv dvdu) \dudv dvduj ~^\àudv dvdû/
Supposons qu'on prenne pour u et i/ les coordonnées
, . û • t J. • ' dx dx dx ày dz dz J polaires 6, <|, ; les d«"vees ^^ , ^, -^--, -^^, -, ^ de-
vront être prises ici en considérant le rayon r comme fonction de 6 et ^\ alors on aura
d.r dr . ^ . . .
-rr- =: -r^ sin5 cosy -+- rcosô cosif, do ÔQ ^
ày àr , ^ , , « . I ^^ ^^ « . *
r^ = -r: sinô smy + /"cosO smif, -tt = -r;, cosô — rsmO, ÔO 09 ^ 06 dS
dx àr , • /i • #
-r- = -^-r sm9cos>p — r sm6 sm^f», dy o^
ày àr , ^ , . ^ . . , dz dr dy »;y ay ay
d'où
T« il — :n jiV ='*smô 3-sm5-f.rcosô ),
ày àz dy dz ( dr . , \ dr , .
dB d-^ d^âO \àe ) d^ ^
dz dx dz dx . ^ . , /dr ^ , \ dr .
06 d^ dif dô ^ \ ÔB ) d^ ^
La somme des carrés des seconds membres de ces for^ mules est égale à
on retrouve donc la formule déjà donnée au n^GO^ pour la détermination des aires en coordonnées polaires, savoir
