CHAPITRE V

Sur une généralisation d*une Jormule relatwe à la théorie des intégrales eulériennes. ^applications,

610. Nous présenterons ici un exemple remarquable de réduction d'une intégrale multiple. Cette intégrale est la suivante :

où les exposants p^ p^j p2j • • * f pn sont positifs ; l'intégration doit être étendue à toutes les valeurs positives des n variables X| , Xo, • . . , Xn^ qui satisfont à l'inégalité

Commençons par intégrer, relativement à j:;,, la différentielle j:5''~*(i — Xi — Xa — .. . — x,t)P'* dXfi, dans laquelle il faut regarder Xj , Xa, . . . , x„i comme des constantes. Les limites de cette intégration sont o et I — X| — X2 — - . . — x,/i ] posons

t étant une nouvelle variable; les limites de l'intégration relative à t seront o et i, et l'on aura le résultat

(, .r, — X, — ... — ar„,)/'-^/'»-* / fP"-^ (l ^ ty^'^ dt.

L'intégrale relative à t n'est autre chose que l'intégrale eulérienne de première espèce B(p;„ p); par conséquent, la formule (i) est réduite à

Wi r r ^

l'intégration devant être étendue aux valeurs positives des n — 1 variables .rj,Xa, ..., ^«-i qui satisfont à l'inégalité

J?j -T- JP^ -T~ • • • —H «^p 1 ^^ I •

D'après cela, la formule (2) n'est autre chose que celle-ci:

Lorsque tz = i , la formule (i) se réduit à une intégrale

simple /...-«(.-x)-^^ étendue aux valeurs de x

comprises entre o et i ; cette intégrale n'est autre chose que B{pi^p). Il suit de là que la formule (3) subsiste pour /i = ï , pourvu que le symbole V soit réduit à l'unité, quand l'indice inférieur est nul. Cela étant, remplaçons n par I, 2 y 3, . . ., n dans la formule (3) et multiplions ensuite les formules résultantes ; il viendra

ou, en remplaçant les fonctions B par leurs valeurs exprimées en F et réduisant ensuite,

rM YP) T{p]r{p^)r{p,]...r{p„) ^

Dans. le cas de p = i , l'intégrale (i) se réduit à ; 5 ) Vj,» =ff. . . Jxf •-» xf -• . . . x^--' .te, dx,... dr„,

et elle s'étend toujours aux valeurs positives des variables qui satisfont à l'inégalité X| -h Xa -f- . • . -f- a*,, <^ i ; la formule (4) devient alors, à cause de F (i) = i,

(3) V^*^= ^t/'J^^f^ïl-'-^f^"'

rt/^i-h /?»-*-... -h /^« -t-i)