CHAPITRE V

611 . On ramène au cas précédent celuî de l'intégrale (7 ) T = fJJ. . . Jxf- xf-* . . . x^-'dr.ir,. . . ,/^„

étendue à toutes les valeurs positives de x< , Xo, ...,07;, qui satisfont à l'inégalité

(5M2)---fâ)-<"

ai,a3, ...,a„,ai, ot^, •.., a^ étant des quantités positives données. En effet, si l'on pose

■.rA«i

d'où

la formule (7) deviendra

T= I I , . . I z'I' 2?» ... 2!" cfsi dzm . . . di„

eif en appliquant la formule (6),

Considérons en particulier l'intégrale triple

étendue à tous les éléments situés dans l'angle que forment les directions positives de trois axes rectangulaires et contenus dans l'ellipsoïde dont la surface a pour

336 CALCUL INTÉGUÀL.

équation

La formule (8), appliquée au cas actuel, donnera (9) T=i4il^M^„.6,^.

Si Ton fait pz=zq = r = iy la formule (9) donnera le volume de l'ellipsoïde ; si Ton suppose deux des trois exposants p, q^ r égal à i et le troisième égal à 2, elle permettra de déterminer les coordonnées du centre de gravité de la huitième partie d'un ellipsoïde homogène ; enGn, on en conclut aussi les quantités que Ton nomme moments d'inertie, en Mécanique, dans le cas d'un ellipsoïde homogène.

Aire de F ellipsoïde.

612. Si l'on fait usage des coordonnées rectangulaires^ la surface de l'ellipsoïde aura pour équation

et la formule propre à donner la surface sera

Le résultat de l'intégration relative kx oxxkj dépend des fonctions elliptiques; l'emploi des coordonnées polaires offrirait le même inconvénient ; mais on peut

CHAPITfiB V. 337

efTectuer la réduction de i^intégrale en prenant pour variables les angles 0, ^ tels que

qui vérifient l'équation de l'ellipsoïde. On trouve, par les formules du n® 609,

S= I îsla^ b* cos* 0 4- c« sin* 6 (a* sin* + + ^»* cos'ip) sin BdOd^,

les intégrations s'étendant ded = oàd = 7retde^=::o à^ = 27r. L'intégration relative à 0 peut être effectuée, et l'expression de S est alors réduite à une intégrale simple; mais l'intégration dont nous venons de parler introduit des arcs de cercle, et le résultat qu'on obtient par cette voie n'a pas la forme simple dont il est susceptible. C'est pourquoi nous n'entreprendrons point le calcul, et nous emploierons une autre méthode pour résoudre la question que nous avons en vue. Le procédé que nous allons exposer est très-remarquable, et il peut être employé avec avantage dans des cas assez étendus.

613. Désignons par u le cosinus de l'angle que fait le plan tangent au point (a:, j^, z) ; avec le plan xjr on

aura

Sil'on considère u comme une constante, l'équation (2) représentera un cône du second degré, et les équations ( i ) et (a) , prises simultanément, appartiendront à une courbe qui sera le lieu des points de l'ellipsoïde pour lesquels le

S. — Cale, ini, 22

338 CALCUL IKTÉGBÂL.

plan tangent fait avec le plan xy un même angle ayant u pour cosinus. On aura la projection de cette courbe sur le plan des xy en éliminant z entre les équations (i) et (2) ; on trouve ainsi

équation d'une ellipse dont les demi-axes ont respectivement pour valeurs

^^(a* — c*)i/» ' y/6»— (A*— c«)a* ' et dont Taire totale E sera, en conséquence,

Cela posé, soit dE Paccroissement que prend E quand u augmente de du, la. partie de l'ellipsoïde située d'un côté quelconque du plan xy et qui se projette sur l'espace

annulaire </E a pour valeur — 9 et, pour obtenir l'aire totale S de l'ellipsoïde, il suffît d'intégrer l'expression —

ou — - — depuis u = i jusqu'à zi = o et de doubler le

résultat ; on obtient ainsi, en renversant les limites et en changeant le signe de l'intégrale.

Il ne reste plus qu'à substituer dans cette formule la valeur de E tirée de l'équation (4), et l'on aura Taire de l'ellipsoïde exprimée par une intégrale simple ; mais il convient de transformer cette expression. A cet effeti

CHAPITHE V. 339

nous supposerons a> b^Cy rinégalîté n^excluant pas régallléy et nous ferons, pour abréger,

d'où

^a* — c* = a sin f*, c=z b ^i — Ar*sin*fA,

fi étant un angle compris entre o et-; enfin, nous pren-

(Irons pour variable, au lieu de u, Tangle cp déterminé par la formule

a sin 9

et, comme u varie entre les limites o et i, Tangle <f variera de o à /ui.

D'après cela, les équations (4) et (5) deviennent

(6) et

ces y ^i — X*sin*y

ce ^ ffV 31UV

Or on trouve, au moyen de Téquation (6),

rfE , F. Ecos<p , , K , c?»

sin)) m\^ siu*î» siuf sin'yy^i— X*siii*

— 'Kob

d ailleurs, si 1 on dillerentie 1 expression —

34o CALCUL INTÉGUAL.

on obtient

,cos®V^i — Â:*sin'<p y ,. . . . , <h

^ -^^r. = - V^ '-^'sin'y^/y H- -j -— —

siny ^i — A*sm'y

df^

et, si Ton tire de cette équation la valeur de

sin*f v^i — A:'sin*y

pour la substituer dans la formule précédente, il viendra, en ayant égard à la valeur de E,

1 y/ a' — c' É^E T , a dtf siny

( tang tA^ * — A- sin* y L ^ J i

Intégrant entre les limites ç == o et y = fx, on a

Si Ton fait, conformément à la notation de Legendre,

Jo V^i-X*smV Jo

on retrouvera la formule donnée par cet illustre géo-