CHAPITRE YI

dépendantes. Lorsque ce nombre est supérieur à i, elles constituent ce que l'on nomme (n** 53) un système d'équations différentielles simultanées,

615. Étant donnée une équation difTérentielle d'ordre quelconque ou un système de telles équations, on peut toujours lui substituer un système d'équations difTérentielles du premier ordre en introduisant des variables nouvelles et en augmentant le nombre des équations, ainsi que nous l'avons déjà dit au n® 70. Effectivement, si l'on désigne par x la variable indépendante, par y l'une des autres variables et par m l'ordre de la plus haute des dérivées de y qui figurent dans l'équation proposée ou dans le système proposé, on posera

S--^' dx ""-^ ' •••' dx ""-^

et l'on joindra ces équations différentielles aux proposées, après avoir écrit dans celles-ci

au lieu de

df ePr d'"-'\r d"*x

dJc^ Z?' *"' ^x'"-» ' dx^*

Pareillement, si n est l'ordre de la plus haute des dérivées d'une autre variable z qui figurent dans le système, on introduira dans ce système les nouvelles équations

dx ^' dx ^ '

dx

après avoir écrit

, „ rfî(»-»

au lieu de

dz d^z

rf^-^z </»«

dx €ix*

^ dx''-^^ dx'^*

et ainsi de suite. II est évident qu'en opérant de cette manière on obtiendra un système équivalent au proposé et dans lequel il n'y aura aucune équation d'ordre supérieur au premier.

616. Cela posé, considérons un système de n équations difTérentielles distinctes du premier ordre où figurent, avec une variable indépendante a:, n autres variables j^,

z^. . .,Uy \^ el les dérivées -r-> -—) • • • » -7- j -;- • Deux cas

€ix dx dx dx

peuvent se présenter: ou bien les n équations proposées

détermineront les valeurs des /ï dérivées -p-» — »•••? -7-»

dx tix dx

-j-i qui seront ainsi des fonctions données des variables

x^jj Zy. , <,yUyif\ OU bien l'on pourra, par la combinaison des équations proposées, former un certain nombre i d'équations qui ne renfermeront que les seules variables X, ^, z,. . .yUj V et qui pourront tenir lieu de 1 équations du système. Le second cas est, comme on voit, celui d'un système composé de /z — i équations différentielles jointes à 1 équations entre les seules variables, et il peut être ramené au premier cas par l'élimination de 1 variables. Effectivement, les i équations entre Xy j^ Zy,,,y Uy \^ déterminent i des variables j^, z, . . . , u, v en fonction des autres, et, si l'on substitue leurs valeurs dans les n — I équations restantes, on obtiendra un système de n — i équations différentielles du premier ordre entre la variable x qI n — / autres variables.

II résulte de là que tous les cas des équations différentielles ordinaires se ramènent à celui d'un certain nombre n d'équations différentielles du premier ordre entre n 4- I variables, qui déterminent les valeurs des dérivées des n variables dépendantes en fonction de toutes les variables. Et, si l'on fait ici abstraction des difficultés de