CHAPITRE YI. 34s

rélimination, les équations du système auront la forme

/iyî» • • • > /"n-ï étant des fonctions déterminées de x^ y^

Dans le cas où le nombre des ^variables est a, le système se réduit à une équation différentielle unique

•Des équations intégrales, 617. Soit

une équation différentielle du premier ordre entre les variables j: etj^. Il sera démontré plus loin que, si la fonctiony(j:, y) reste continue pour les valeurs de a: et de j comprises entre certaines limites et que 0:0, ^0 désignent des valeurs choisies à volonté entre les limites respectives dont nous venons de parler, il existe une fonction

F(j:, a:o,j^o) q^i se réduit à j^o pour a: == Xo et qui est telle, que Féquation (i) est satisfaite quand on pose

on verra, en outre, qu'il n'existe qu'une seule fonction F (xj OToy^T^o) jouissant de cette propriété.

346 CALCUL IMTÉGRAL*

L^équation (2) est dite V intégrale générale de l'équation (i); on peut y regarder jtq comme une valeur déterminée quelconque etj^'o comme une constante arbitraire.

Si Ton a obtenu par une voie quelconque une équation

(3) «(jT, .r,C)=o

entre les variables a:, j^ et une constante arbitraire C telle qu'on puisse en tirer une valeur de y qui satisfasse à Téquation (1), Téquation (3) coïncidera avec Fintégrale générale, car on pourra déterminer la constante C de manière que Ton ait

et, par conséquent, la valeur Aej tirée de Téquation (3) se réduira kjo pour x = Xo.

L'équation ( i ) devenant identique quand ony remplace

^ et — par les valeurs tirées des équations

<}♦ ()♦ dr ox ojr dx

il est évident qu'elle résulte de l'élimination de la constante C entre les mêmes équations, d'où il suit que les équations différentielles du premier ordre ont toutes la même origine (n® 51 ).

618. Considérons maintenant un système quelconque de n équations différentielles du premier ordre entre Ti-h 1 variables j:, j^, if, . . . , i/, Vy savoir