CHAPITRE VI

Si les seconds membres de ces équations sont des fonctions continues, lorsque les variables sont comprises entre certaines limites et que Xo, yo, Zq, ..., iio> ^0 désignent des quantités arbitraires respectivement comprises entre les mêmes limites, il existe, comme on le verra plus loin, un système de fonctions F, F|, ..., F„j de la variable x et des quantités Xof yof Zo, '.., Uq, i^o qui se réduisent respectivement kyo, Zq, ,.., Uo, i'o pour x = Xo et qui sont telles, que les équations du système (i) sont vérifiées quand on fait

^ = F (x, Xo, Xùi 8o. . . . > «0> ^o)f

, \ ; * ^^ Fifx, jtq, jr^f ^oi • • • » ''•» •'0)1 I ••••••••• •• •••«

en outre, le système des fonctions F, Fi,..., F^.i est unique.

Le sj'Stème (a) constitue le système des intégrales générales des équations (i) ouïe système intégral du système (1) ; on peut prendre pour Xo une valeur déterminée choisie à volonté; j'q, Zq, . . . , i/q, u^ sont n constantes arbitraires.

Si Ton a obtenu par une voie quelconque un système de n équations entre les variables x,y, z,,,, , u, s^ et n constantes arbitraires C.. C^ , C29 . . . , C^.o savoir

et qu'on puisse tirer de ces équations des valeurs de y^ Zy.. .y Uf ^ propres à vérifier les équations (i), le système (3) coïncidera avec le système intégral, pourvu ccpendantqu*on puisse attribuerauxconstantesCyCf,... y

348 CALCTUL INTÉGRAL.

C;,i des valeurs telles que y^ z, ..., w, i^ se réduisent respectivement aux valeurs arbitraires ^o> ^o> •••> "o> ^o quand on fait x = Xq,

Il est évident que cette dernière condition sera remplie si les équations (3) déûnissent pour C, C^ -«m C^n-i àes valeurs déterminées fonctions des variables Xjjj z, . . . , u, V, savoir

\ C„i=Y,»j(.r,^, «,..., Il, p).

Le système des équations ( 4 ) n*est autre que le système intégral mis sous une forme particulière ; les équations qui le composent ne renferment qu'une seule constante arbitraire ; chacune de ces équations est dite une i/i£egrale du système (i).

Cauchy a établi le premier d'une manière rigoureuse l'existence des équations intégrales, mais la démonstration qu'il a donnée de ce théorème fondamental est d'une complication excessive. Le même théorème a été ensuite démontré d'une manière fort simple et au moyen de considérations très-différentes par MM. Briot et Bouquet. Nous exposerons ici l'analyse que ces géomètres ont publiée dans un Mémoire qui fait partie du XXXVP Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique; cette analyse repose sur quelques lemmes dus à Cauchy et que nous allons établir.

Propositions préliminaires.

619. Lemme L — Soient Xq une constante déterminée^ a: = j:o-Hp^"^~* une variable, f[x) une fonction bien déterminée de cette variable qui reste continue et qui