CHAPITRE I

résultats auxquels nous a conduits la différentiation des .fondions simples, car ces résultats nous font connaître les intégrales qui s'expriment par une telle fonction. On a

;r»+* . de

d iizs^dx^ <isinx=: cosxr/x, dçxAx-=i T—z-y

/i -+- I sin' X

. ^' „.* T . .... €\x\xdx

a = c"'* dx. acosx = — smxdx. dsecx = ■ r — - 5

m cos*jc

, dx ^ d.r , , cosxdx

a logx z= — > rftanffx= — 7— ? acosecx:= ^.-i — >

x cos*jr sm'ar

a arc sinx =z . 9 rf arc cet j: = r 7

aarc cosx = — ? a arc séco? = — 9

dx — dx </arc tànsx = -» fl?arc cosccx == >

et Ton en conclut immédiatement, en désignant par Cune constante arbitraire,

/j.«-f-i /» ^ r dr

x"<ir = — ^ f-C, f cos x dlr = fiin j: -t- C, f -r— ,- = — cotj; + G,

/Ï-+-1 J ' J sin«x

/" , ^'^ ^ r . , « C^inxdx

\ e^dx^ h C, f smxdjB = — cosx -h C. / -i — =^- secx -h G,

J m J ' J cos*x

/dx . ^ r dx rcosxdx , ^

— = logx -h G, I - — y— :=: tangx -h C, | — . -;i — = - cosecr -h C,

jc J cos*J7 J 8in*j:

= arc sm X -:- C = — arc cosx -H G,

/dx =: arc tangx -h G == -- arc cotx -f- C,

/' dx ' ^ ' «

— =- = arc secx -i- G = — arc cosecx -f- G. X ^x* — I

On peut aussi écrire, en désignant par ûSq une valeur quelconque de Xf

x'^dx= i

/ — = log.r — logXo = log -- .

La troisième formule de ce groupe est comprise dans la première, et elle se déduit de celle-ci en faisant tendre n-f- 1 vers zéro ; on a effectivement, par la règle du n*> 124,

— =log« — logJTo =lini -^ — pour /n- 1 = o.

loga?;

on trouverait de même, en prenant aro = o,

rdx C' dx

arcsm JT.

La fonction logx et les fonctions circulaires inverses telles que arc tang x, arc sinx, sont donc des intégrales de différentielles algébriques, ainsi que nous en avons déjà fait la remarque (n® 44), et si l'Algèbre et la Trigonométrie n'en avaient préalablement constitué la théorie, elles se seraient présentées dès le début du Calcul intégral comme des éléments analytiques nou-