CHAPITRE VI

ait une dériuée déterminée tant que le module p n est pas supérieur à la limite R ; si M désigne le maximum des -valeurs que prend le module de J[x) quand on fait varier p de o àK et (ù de o à 2i:y on aura

„odr^i<..,.3...« M,

, l^ j désignant la valeur que prend la n'*'** déris^ée dej[x) pour x = x^.

Eneffet, oiia(n«500)

le module de rélément diflTérentiel

n'étant pas supérieur à Mdtù, il est évident que le

/lis Md(M>j c'està-dire 27rM, ce qui démontre la proposition énoncée.

620. Lemme II. — Soient Xo^yo^ ^ov ^ constantes déterminées, x = Xq -h p e" v^~ * , y = j j, -h /&' e^V- * ,

z = ZQ-h p^'e"'^"* , . . . m variables f[x, j , .-?,...) une fonction déterminée qui reste continue et qui ait

une dérix^ée déterminée, relativement à chaque varia-ble, tant que les modules p, p', p", ... ne dex^iennent pas supérieurs aux limites respect ix^es R, R', R'', ... ; si M désigne le maximum des valeurs que prend le module de f\Xy y, Zy...) quand on Jait varier p, p', p", . . . de o àV^y de o à R', de o à R", . . . , et les angles w, co'.

35o CALCUL INTÉGIllLi

(nP, ... de o à 27r, on aura

l'indice zéro indiquant çu il faut remplacer Xy j y Zy ... ^ar Xo.^oî «o>««- «/?''è5 /e5 différentiations.

En effet, si l'on applique ày(x, j^, z, ...), regardé comme fonction de la seule variable Xy la formule ra{>pelée dans le lemme I, on aura

o: devant être remplacé par Xq. En différentiant /z' fois par rapport à^, on aura

on a d'ailleurs, par la formule déjà employée, R"»' ()«'/( a: -f- R «-v/^, .n «» • • • )

= ^ r e-'»'-W=^/(.r-f-Rtf-/^,7--hR'tf-'/^,«,...)rf«',

où il faut faire non-seulement x=sXof mais encore y =j'q ; on aura donc

"^ J^* f f ^■"^"•^"'•'^^/(•^ + R^ v^, r -h R Vv^, j, . . .) A»^/«',

où l'on doit faire x = Xq, J'^ =/o-

Il est évident qu'en poursuivant la même marche on