CHAPITRE VI
obtiendra la formule
1.1... n 1.1, . ,n' I.2.. ./i''" L da:" (i[r'*' d«'»" . . . Jo ^(^J J "J ^^''•^-'-'•*-""-"-^-^^-*
dans laquelle le second membre est une intégrale multiple d'ordre m; il est à peine nécessaire d'ajouter que chaque produit tel que i.a. . .w doit être réduit à l'unité quand tz = o.
M aintenantf chaque élément de l'intégrale multiple a un module inférieur ou au plus égal à Md(ùd(ù*d(ù^'. . . ; donc le module du second membre de la formule précédente ne peut surpasser
)>« /%2^ /%2lt
c'est-à-dire M, ce qui démontre la proposition énoncée.
621. Lemme III. — Les mêmes choses étant posées que dans le lemme précédent, toutes les dérwées partielles de la fonction
ont, pour x = X(i,y =y^j « = z©, . . . , des valeurs respectivement égales aux limites des valeurs assignées par le lemme II aux modules des dériv^ées partielles correspondantes de ta f onction /[x^y, z,. . ,).
En effet, si l'on différentie la fonction ^{x,j.z,...) n fois par rapport à x, puis n' fois par rapport kj, puis
352 CALCUL INTéGRAL.
72^ fols par rapport à z, puis..., on aura
^/H->l^4-/t^/-K.. y (x, jr, g, . . . )
dx'' dy''' dz''" . . .
et, en faisant x = Xo, j^ =yof z ^= Zq,, ..^ L dr« dr "' ^is"" . . . [
= (l.2.../l)(l.2.../l^)(l.2.../2^^)... R;.Rr;./]^//n^ /
lo
Démonstration de l'existence de l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre à deux t^ariables,
622. Théorème. — Soient Xq^ y^ deux constantes choisies à volonté, et
.T Xq
-*-ûW=^, ^=:^o-4-p'c"'v-i
deux variables i sif{x^j) est une Jonction déterminée de X et de y qui reste continue tant que p et p' no dépassent pas les limites respectives R, R', et qu'en
même temps les dérivées -r-y-T' soient déterminées, il
'^ dx dj
existe une fonction y de x qui reste continue tant que le module de x — x^ n'est pas inférieur à une certaine limite r, qui se réduit à y^ pour x =Xo et qui enfin satisfait à l'équation différentielle
