CHAPITRE VI

Toute fonçtîonj^dexqui reste continue pourlesvaleurs <le X — Xo dont le module est inférieur à une quantité donnée r et qui a une dérivée déterminée est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières àe x — Xo, et Ton a (n°383)

t) I \ ax* j Q 1.2

quî répondent à a: = Xq.

Si une telle fonction j est susceptible de satisfaire &

l'équation (i), les coefficients f ^ j , \Z^) '" seront

déterminés en fonction de Xo et dejo par l'équation (i) jointe à celles qu'on en déduit par la drfférentiation, savoir :

d^r df dfiir

(3) {dx^ — ô.r'^ dyTr^

dx^ dr» dxôydx dy^ \dx) dj dx*^

En faisant x = x©, j^ =^o> on aura successivement par les équations ( 3 ) les valeurs de f -^ ) , ( — ^ \ 9 • - . , et il

en résulte que la fonction j^, si elle existe, est unique. D'après cela, pour démontrer le théorème énoncé, il

suffit de prouver: i°que,lescoefficients{—) y [~^] ,.••

ayant été déterminés par le moyen des équations (3), la série contenue dans le second membre de la formule (2) est convergente tant que le module de x — Xq reste infé-

S. — Cale, ine, g3

354 CALCUL INTÉGBAL.

rieur à une certaine quantité r, auquel cas la série a pour somme une fonction continue (n** 475); a° que la fonction y définie par la même formule (a) satisfait effectivement à l'équation (i).

A cet effet, désignons par M le maximum du module des valeurs que prend f{oc^j) quand on fait varier f de o à R, p' àe o à R' et les angles o), &>' de o à a?:. Posons en outre

et considérons l'équation différentielle

; (5) ii=,(x,Y).

€ljL'

Je dis qu'il existe une fonction Y de a: qui reste continue tant que le module de x — Xq ne dépasse pas une certaine limite, qui se réduit à j^o pour a: = JCo, et qui satisfait à l'équation (5). En effet, l'équation (5) peut s'écrire comme il suit,

Y-jr,WY ?** = o

U' I (Lk or. — Xq '

et il est évident qu'on l'obtient en différentiant l'équation

(6) (T-r.)-^fj^!'^' + MRlog(,-^»y o.

Cette équation (6) est du deuxième degré par rapport à Y — j-o> et ses deuxracines deviennent égales entre elles lorsque l'on a

cnAPiTiiE VI. 355

Si donc on pose

celle des racines Y de l'équation (6) qui se réduit à yo pour j: = Xo restera fonction continue de x tant que le module de x — Xq sera inférieur à r. Ainsi l'on a, pour de telles valeurs de x,

Les coefficients l — J » (^"t) ' *" de ce développement s'obtiendront en faisant j:=^j:o, Y = j^o dans le système formé par l'équation (5) et celles qu'on en déduit par la différentiation, savoir :

(8) {~dx:^ ~^ di'^dXd^^

dx^ ~^ dx^'^'^ ôjc OY ^dx "^ d'Y* \dx) '^ÔY lû*^

En outre, on a, par réqtmtion (4), R" R'»' J»-^"> __ BI

le produit i . 2 . . . ti ou 1.2. , .n' devant être réduit à l'unité quand n ou n' est nul, et cette formule montre que toutes les dérivées partielles

356 CALCCL INTÉGnAL.

résulte, à cause des formules (8), que les quantités

sont elles-mêmes positives.

Désignons par A le maximum du module des valeurs que prend la fonction Y quand on fait varier de o à r le module pde x — Xq et de o à ^ir l'argument oi>; on aura, d'après le lemme I (n° 619),

Comparons maintenant entre eux les deux systèmes d'équations (3) et (8), dans lesquels nous supposons x=Xoy Y=y=j^o* La première équation du système (3) et la première du système (8) nous montrent que Ton a

V^jo

n.odr^i<(g)^,

d'après le lemme II du n° 020. On voit ensuite (lemme III, n° 621 ) que les modules des deux termes du second membre de la deuxième équation (3) sont respectivement inférieurs aux termes du second membre de la deuxième équation (8), lesquels sont l'un et l'autre positifs; il en résulte que

et ainsi de suite, en sorte que l'on a généralement

et, à cause de l'inégalité (9),