CHAPITRE VI

OU

»«'[(£).fe^]<*-»°^

Si le module de x — Xq est inférieur à /*, la progression

géométrique dont le terme général est A X m ')d ( \

est convergente ; donc la série formée par les modules des termes de la série ( 2) est convergente, dans la même hypothèse ( n*» 97 ) ; par conséquent, la série ( 2 ) est ellemême convergente (n** 363), et elle a pour somme une fonction déterminée et continue y. Il faut remarquer que rinégalité(io) prouve aussi la convergence delà série obtenue en diflTérentiant par rapport à x les termes de la

série (2); cette dernière série a donc pour somme -z- •

Il nous reste à démontrer que la fonction j)^ définie par la formule (2) satisfait bien à Téquation (i). On a d'une part

et d'autre part

Nous écrivonsyi) au lieu de /(xc^o) dans cette formule et nous désignons par/'Q,y^, ... les valeurs que prennent, pourar=a:o, y=)oj les quotients y',/'', ... obtenus en divisant par dx, dx^, . . . respectivement les

différentielles totales d/, d-J^ Les quantités /',

f^\ . . . sont déterminées par les équations

â-r dy dx

(11) i^/^ . ,J!/ ^ . ^MI'^jX ^^^

■' ~ de» ''" ÔJn dy \lx "' dj-' \dx) df dr.''

Pour avoir yj , /^, . . ., il faut y faire x = a:^, Y=.y^ et remplacer ( ^ ) > ( -yj ) » • • • par les valeurs tirées

des équations (3). Or on voit que les seconds membres des équations (ii) sont identiques à ceux des équations (3) si Ton fait abstraction delà première équation du système (3); on a donc

A-i-jir) • A =

et, par conséquent, la fonction (2) satisfait bien à l'équation (i).

Démonstration de V existence du système intégral d'un système d' équations différentielles du premier ordre.

623. MM. Briot et Bouquet ont étendu leur analyse au cas d'un système quelconque d'équations différentielles simultanées du premier ordre, et ils ont démontré ce nouveau théorème :

Théorème. — Soient Xq, ^q, Zo, . . . m-J- i constantes choisies à volontéy et

m -h I variables. Si les m fonctions

restent continues tant que p, p', p^\ ... ne dépassent pas les limites respectives R, R', R'', . . . et qu'elles admettent en même temps des dérivées déterminées relativement à chaque variable, il existe m fonctions yy Zf . . , de la variable x qui restent continues tant que le module de x — Xq reste inférieur à une certaine limite r, qui se réduisent respectivement à y^, Zqj • • •