CHAPITRE VI

pour x = Xq et qui satisfont aux m équations différentielles simultanées

(i) ^ ^^^•^('^' '^^ ^' •••)» jZ^^f^\^>y*^'> •••;? ••••

Désignons par M, Mi, ... les maxiina Aes modules des valeurs que prennent les fonction sy(j:, 7^, z, . . .), fx{xjyj Zj ...), ... quand on fait varier p, p'^p'^ ... de o à R, de o à R', de o à R'', . . . respectivement, et les angles &), co', Cl)'^ . . . de o à 27r; posons

et considérons les m équations simultanées

(2) ^ =Mç>(x, Y,Z, ...), — =M,y(,r, Y, Z, ...),....

On peut trouver des fonctions Y, Z, ... qui satisfassent aux équations (a) et qui se réduisent kj^^ Zq^ ... respectivement pour x=Xg. En effet, si Ton pose

(3) Y-j^o = -^lS, Z-Zo-=MiS, ...,

puis que Ton détermine la fonction S de manière qu'elle s^annule pour x=Xo et qu'elle vérifie Téquation

(4) ~ =?{-r.Xo -^ WS, zo -h Ml S, . . .),

il est évident que les équations (2) deviendront identiques. L'équation (4) peut se mettre sous la forme suivante,

R' / V R" / da: a- - .r^

CALCUL ISTÉGRAL.

r /M \„ /MM, N^. "I-« I

ei on l'obtient en différentianl la suivante :

Soit r le plus petit des modules qu'il faille attribuer à X — Xf, pour que l'équation (5) ait deux racines S égales entre elles. Tant que le module de x — Xq sera inférieur à r, celle des racines S qui s'annule pour jr=Xa sera une fonction continue de x. développable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières de X — Xo! en outre, si l'on désigne par A. le maximum du module de cette lonction S pour les valeurs de p et w respectivement comprisf^s entre o et r, o et an, on aura (n° 619}

Enfin il est évident que les fonctions Y, Z, ..., qui sout proportionnelles àS,5ont déveIoppables,cn même temps que cette fonction, en des séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières de x — Xo-

Cela posé, d'après le lemme III du n°621, les valeurs des modules que prennent lesfonctionsy"(x, y, s, ...), f,(x,y, Zo.-.), ... pour x = x,), j =jo, z = Zb, ■•■ sont respectivement moindres que les valeurs des dérivées correspondantes des fonctions M(}i(x, Y, Z. ...). M,ç{x,Y,Z, ...)pourx = x„, Y=j„ Z = =„, .... Il en résulte que, si l'on compare le système formé par les équations (i) et celles qu'on en déduit par la dilTérentiation au système formé par les équations (a) et

chapiïhe vt. 36 1

celles qui «î'en déduisent, on trouvera, comme au n° 622, que les valeurs de

tirées des premières équations, ont des modules respectivement moindres que les valeurs réelles et positives

fournies parles équations du second système. On a donc, à cause des formules (3) et de l'inégalité (6),

»»4(Sî).^.-7t:„^]<«.*><»-(^-^)"-

Il en résulte que les séries

sont convergentes tant que Ton a mod(j: — Xq) <^r. Ces séries définissent des fonctions j^, z, . . . qui restent continues pour les valeurs de x dont il s'agit, et le raisonnement déjà employé au n°622 prouve que les fonctions j, z, ... satisfont effectivement aux équations différentielles.

624. Remarque. — Il est évidemment permis, dans la démonstration qui précède, de remplacer les modules R', R'^, . . . par le plus petit d'entre eux ^, et les maxima M, M4, ... par le plus grand d'entre eux tPd, Les équa-

tions (4) et (5) deviennent alors

À J dx X — .tq '

La dérivée relative à S de cette dernière équation

donne i — S = o; on a donc , dans le cas de deux

racines égales,

+ Rl„g , „-" =0,

x—xt

(m + ijOlL '=*\ R

d'où

et, par conséquent, on peut prendre pour la quantité r

Propriétés des intégrales d'un système d' équations dijjérentielles du premier ordre,

625. Considérons un système de n équations différentielles simultanées entre les /ï -4- i variables or, jy

c, ... 5 V en vertu desquelles les dérivées -;-? -;^? ..., —-

^ rfo: ax <ix

nient des valeurs déterminées. Désignons par v» ^» '"' V"

ces valeurs ; les équations différentielles seront ^r Y ^Z ^JL — Z.

dx X r/j: X dx X