CHAPITRE VI

et on pourra les comprendre dans une formule unique,

savoir

, . dx chr dz dv

il) x'^Y'^z V'

X, Y, Z, . . . , V sont des fonctions déterminées des variables j:, 7, z, . . . , 1^, à l'exception de Tune d'elles, qui peut être choisie à volonté.

L'existence du système int<^gral étant établie, supposons, comme au n°6i8, que les équations de ce système soient résolues par rapport aux n constantes arbitraires G, Cj , . . . , C,î 4 qu'elles renferment, et représentons-les par

La différentiation des équations (2) fait disparaître IcîS arbitraires C, C|, . . . , C^^i, et, par conséquent, les équations qui résultent de cette différentiation forment un système équivalent au système (i). En d'autres termes, on a identiquement

lorsqu'on prend pour dx^ dy^ dz, . . . des quantités proportionnelles à X, Y, Z, ... .

Nous avons dit (n°618) que chacune des équations (2) est nommée une intégrale du système (1) ; mais, comme les combinaisons que l'on peut faire avec ces équations sont susceptibles de leur être substituées, nous appellerons généralement intégrale du système ( i ) toute équation

dont le second membre est une constante arbitraire T et

364 CALCUL IMTÉGUAL.

dont le premier membre est une fonction II des seules variables x, ;^, z, . . . , telle que la différentielle dïl se réduise identiquement à zéro quand on prend, pour les différentielles dx^ dy^ dz^ . . . , des quantités proportionnelles à X, Y, Z

Il est évident qu'on formera une telle équation en égalant à une constante F une fonction quelconque des premiers membres des équations (2), car, si Ton différentie Téquation

on aura

et cette équation est satisfaite, à cause des formules (3) qui ont lieu quand on suppose les équations (i).

Mais il est facile de démontrer en outre que, si Téquation(4) est une intégrale du système (i), elle est nécessairement de la forme (5 ). En effet, supposons que X ne soit pasnul; Y,Y<, ...,Y„, étant des fonctions des /ï-f-i variables j:,j*, r:,-...,v, il est permis de regarder j', x:,...,f comme fonctions de x et de 'F, 'F< , . . . , Y,/«i , puisque, par hypothèse, le système (a) coïncide avec le système intégral. L'équation (4) prendra donc la forme

la différentiation donne d¥ dF dF ôF

et, à cause des équations ( 3 ), on a simplement

dF ^ dF

-r- ctr = G ou —- = G,

ax ox