X-T- -^Y-T — i-...-f-V— =o, ax Oy c/t

et Ton a cette proposition :

Théorème I. — *SÏ II = const, est une intégrale des équations simultanées

dx dy dv

la fonction II satisfait identiquement à l'équation aux dériwées partielles

^ dn ^dn , , an

ax Oy Ov

Réciproquement, toute fonction H qui satisfait identiquement à l'équation aux dérivées partielles donne, quand on l'égale à une constante arbitraire, une intégrale du sjstème des équations simultanées.

366 CALCUL intégual.

Et, d'après ce qu'on a vu au numéro précédent, on peut énoncer cet autre théorème :

Théorème II. — Si l' équation aux dérivées partielles

„ ()n „ (}n „ on

est satisfaite quand on prend successivement, pour H, n fonctions distinctes y, y<, ...,^/;o toute Jonction II qui satisfait à la même équation est nécessairement une fonction rfe 'F, Yi , . . . , V n-.\ •

Réduction des systèmes d'équations différentielles entre un nombre quelconque de variables à des équations différentielles qui ne renferment que deux variables .

627. Une équation différentielle d'ordre quelconque entre deux variables ou, plus généralement, un système de n équations différentielles d'ordre quelconque entre w-hi variables se ramène, comme on Ta vu (n^615), à un système d'équations différentielles du premier ordre. Il est facile de montrer que, réciproquement, un tel système peut se ramener à des équations différentielles qui ne renferment que deux variables.

Soient les n équations différentielles

^ ' a.r dx d.r.

OÙ Y, Z, . . . , V désignent des fonctions données des /i -f- 1 variables a:, j^, z, . . . , i^. Le système intégral renferme /z constantes arbitraires, et l'on peut concevoir que les équations de ce système soient résolues par rapport kjj Z;..., V. Considérons en particulier l'équation qui détermine j^ en fonction dex et des arbitraires ; si les n arbi-