CHAPITRE VI

traîres figurent dans cette équation , il faudra, pour les éliminer, joindre à Téquation dont nous parlons celles qu'on en déduit par tz differentiations successives ; donc/ dépendra, dans ce cas, d'une équation différentielle d'ordre/i. Mais, si l'expression de y en x ne renferme que I arbitraires, i étant <C^t i' est évident que i différentiations suffiront pour l'élimination des constantes, et, par conséquent, y ne dépendra que d'une équation différentielle d'ordre i.

628. L'équation différentielle de laquelle y dépend peut être obtenue au moyen des équations proposées. En effet, on a, en différentiant la première des équations (i),

rn Y ÔY dY dr dY dz ÔY dv

1 — - J " J . JL. ^ ^ ^ 1 ^

Ujc^ Ôx ôj' dx Ôx dx ' ' ' ôv dx

ouy à cause des équations (1),

d^r dY ^ÔY ^dY ,àY

dx* dr ôjr az Oi'

nous désignerons, pour abréger, par ¥< le second membre de cette équation, et nous aurons

dx*

En différentiant cette équation et en faisant usage des équations (i), on obtiendra la nouvelle équation

où Y 2 est une fonction connue des variables x, y, z, . . . , V. En poursuivant cette marche, on formera le système des n équations

dont les seconds membres Y, Y| , . . . , Y;,< sont des fonctions connues de x,^, ^> • • • > ^'•

Si les n équations (2) sont nécessaires pour Télimi nation des n — I variables z, . . . , i^, ces variables seront déterminées par les /ï — i premières équations en fonction de

et, en substituant leurs valeurs dans la dernière équation (2), on obtiendra une équation dilTérentielle d'ordre n

Mais il peut arriver que les i premières équations (2) suffisent pour former une équation différentielle entre j: eij\ Cette équation différentielle sera, dans ce cas, de l'ordre i, et / — i des n — i variables 2, . . . , v seront connues en fonction des n — i autres et de

dy d^~~^ Y

alors, si Ton substitue les valeurs de ces i — i variables dans celles des équations (i) qui renferment les dérivées des n — / autres, ces dernières seront déterminées par un système de n — i équations différentielles analogues au système (i), avec cette seule différence que les seconds membres renfermeront une fonction^ déflnie par une équation différentielle d'ordre r, ainsi que les / — t premières dérivées de cette fonction. En opérant sur le système dont il s'agit comme nous ayons fait à l'égard du système (1 ), on fera dépendre une nouvelle variable :: d'une équation différentielle d'un certain ordre / égal ou inférieur kn — i , laquelle pourra renfermer la fonction /