CHAPITRE YI. 36g

et les dérivées de cette fonction, jusqu'à l'ordre i — i seulement, puisque la dérivée d'ordre i s'exprime par les dérivées des ordres inférieurs. Si le nombre j est égal à n — i, les 71 — i — i variables restantes seront déterminées en fonction de

^' ^' dZ' •••' d^' ^* di' •••' S7=ï'^

m ai s y dans le cas contraire, y de ces variables seulement pourront être exprimées en fonction des précédentes quantités et des n — i — j variables restantes. Il est évident qu'en poursuivant la même marche on formera un système d'équations diflférentielles dont les ordres auront pour somme n ; chacune de ces équations ne renfermera qu'une seule variable dépendante, outre celles qui figurent dans les équations précédentes, et que nous regardons comme déterminées par ces équations. Quant aux variables qui ne figurent pas dans les équations différentielles dont il s'agit, elles sont déterminées en fonction des autres variables et des dérivées de celles-ci.

629. Pour former l'équation différentielle par laquelle sont liées entre elles deux des variables qui figurent dans un système d'équations différentielles simultanées, il n'est pas nécessaire que ces équations soient mises sous la forme que nous leur avons supposée au numéro précédent. La différentiation et l'élimination conduiront dans tous les cas à l'équation demandée.

Considérons, par exemple, les deux équations simultanées

I' / dy d'^r dz dPz\

•^r-^' ^'•••' d^' ^' .7^""' S^j = ^» / dy d^r dz dJz\

S. — Cale* int. 34

qui renferment trois variables x,j^, r, dont la première est regardée comme indépendante. La première équation est de l'ordre m par rapport à ^ et de Tordre p par rapport à z ; pour la seconde équation, l'ordre relatif à j" est n et celui qui se rapporte à z est f/.

Soit /!x le nombre des équations différentielles résolues par rapport aux dérivées, dont se compose le système différentiel du premier ordre que l'on peut substituer au système proposé (n® 616). D'après ce qui a été dit au numéro précédent, si les équations (i) déterminent les

valeurs de la plus haute dérivée de r, savoir -r-fr ou -7-=^» ainsi que la plus haute des dérivées de z, savoir

iLeP

ou — j en fonction des dérivées des ordres inférieurs et

des variables x, j^, z, ce qui exige évidemment que les différences m — n, p — ç ne soient pas de même signe, le nombre [i sera égal à la plus grande des deux sommes m -h Çf n -h p\ s'il n'en est pas ainsi, /x sera inférieur à cette plus grande somme.

Cela posé, pour faire l'élimination de z, différentions les équations proposées, la première ç fois, la seconde p fois ; en joignant les équations obtenues aux proposées^ nous aurons un système de p -+- y 4- 2 équations. Les dérivées de z figureront dans ce système jusqu'à celles de Tordre /? 4- y> et, quant à Tordre de la plus haute dérivée dé y, il sera égal au plus grand des nombres ni -h Çf n-h p» Il s'agit d'éliminer les p -f- y -f- i quantités

dz dP^z

' dx dxP^i

entre lesp + ^ + a équations ainsi formées. Si toutes ces équations sont nécessaires pour l'élimination, /> + 9 + i