CHAPITRE Yl

dz d'entre elles détermineront les valeurs de z, -7- ? • • • »

-; — -^> et la substitution de ces valeurs dans la dernière équation donnera une équation différentielle

dont Tordre i sera égal à /ui; on aura en même temps , comme nous venons de le dire,

V étant une fonction déterminée.

Mais, si les p -+- y 4- a équations que nous avons formées ne doivent pas être toutes employées pour l'élimination, Tordre i de réquation(3) qui résulte de cette élimination sera inférieur à [i.. Alors il résulte de ce qui a été dit au numéro précédent que z ne sera plus déter-

minéy dans ce cas, en fonction Ae Xy y^ —"> "'\ mais elle dépendra d'une équation différentielle

/ dz d^-'z\

(5) "^^'^'^'•••\7ïi^j==^»

d'ordre [i. — i et dans laquelle figurera, avec ses i — i premières dérivées, la fonction y déterminée par l'équation (3).

Des intégrales des divers ordres d'une équation dij^férentielle d'ordre quelconque, à deux variables.

630. Après avoir montré que tous les cas des équations différentielles ordinaires se ramènent à celui d'un système du premier or4re, dont les équations déterminent

Zy^ CALCCL INTÉGRAL.

les dérivées en fonction des variables , nous avons fait voir qu'un tel système peut lui-même être remplacé par une ou plusieurs équations différentielles d'un certain ordre, qui renferment seulement deux variables , mais où figurent les fonctions définies par les équations précédentes. Le cas d'une équation différentielle d'un ordre quelconque n doit être regardé comme le plus simple ; il nous reste à présenter quelques considérations importantes sur ce sujet.

Soit

une équatioji différentielle d'ordre n entre les deux variables x^y. Si Ton pose

l'équation (i) déterminera une valeur de ^-^ ou -^ —

en fonction de x, y, y\...y j^""^^ ; soit Y cette valeur, en sorte que Ton ait

Supposons que la fonction Y remplisse les conditions de continuité exigées par la théorie des n^' 622 et 623 ; le système différentiel formé des équations simultanées (a) et (3) admettra un système intégral, et les équations de ce système détermineront pour y,j\ j^, ... ^ ^(«-0 des valeurs fonctions de x et qui, pourx = x©, se réduiront respectivement à des constantes arbitraires jo,yo> jô'JKo'*""*^' Si l'on représente par

(4) jr=^[.r,jr,,Xo yi"'^)

celle des équations du système intégral qui détermine ^,

CHÀPITEB VI. 373

il esl évident que les n — 1 autres équations de ce système s'obtiendront en diiTérentiant successivement /i — 1 fois l'équation (4). Cette équation (4) est dite V intégrale générale de l'équation (i). Et, comme le système intégral des équations simultanées (a) et (3) est unique, on voit que :

Si l'on a trouvé, par une voie quelconque, une équa^ tion

(5) /(^./iCi, Cj, ...,C„)=:o,

renfermant n constantes arbitraires Qa^ , Cj , . . . , G„, ef rfe laquelle on puisse tirer une valeur de j^ propre à vérijier l'équation (1), V équation (5) coïncidera a\^ec l'intégrale générale de cette équation ( i ) , pouruu qu'on puisse assigner aux constantes des valeurs telles que y et ses n — i premières dérivées prennent des valeurs arbi" traires données quand on attribue à x une valeur quelconque choisie à volonté.

Cette dernière condition sera remplie si le système formé par l'équation ( 5 ) et celles qu'on déduit de celle-ci par/î — I difTérentiations détermine les valeurs des arbitraires C| , Csy . • • y C/i en fonction de

•^. J' -yz^ t:t'

dx dx* </.r«-»

631. On reproduit l'équation différentielle (i) quand on élimine de l'intégrale générale (5) les arbitraires qu'elle renferme au moyen de la difliérentiation. Mais supposons qu'on ne veuille éliminer de l'équation (5) que i arbitraires, savoir

Cl» Cj, • • • 1 Q; il faudra exécuter 1 différentiations, et je dis que, de quel-

374 CALCUL IlfTÉGIlÀL.

que manière que Ton combine les opérations de difTérentiation et d'élimination, le résultat obtenu sera toujours le même. En eOet, supposons qu*on ait pu obtenir deux équations distinctes ne contenant plus les arbitraires G^ C27 • . . y C|. Soient

^ \f'^' di^ '"' d'jP^ ^'■^" ^'-^'^ • • • > C„ I = o,

■JJJ9 C/+1, C,+J, , . . , C;| ) = O

ces deux équations. Si elles ne déterminent pas pour -^

la même valeur, on pourra éliminer cette dérivée, et Ton obtiendra une équation d'ordre / — i au plus, non identique et renfermant n — î arbitraires, savoir

/ dy df-^X n ^ \

En joignant à cette équation celles qu'on en déduit par Ji — i différentiations, on aura un système den — i -h i équations entre lesquelles on pourra éliminer les arbitraires G/^1 , C/^2* • • • > Gyi, et le résultat de celte élimination sera une équation difTérentielle non identique, d'ordre n — i au plus, et ne renfermant aucune arbitraire. On aurait donc, en faisant x= aro» une relation

entre j^o> \~r] > •••» ( ."„i 1 » et dès lors ces quantités ne seraient plus arbitraires comme elles doivent être.

632. Cela posé, nous appellerons intégrale première oix du premier ordre d'une équation diiTérentielle d'ordre n le résultat obtenu en éliminant de l'intégrale générale 11 — I des constantes arbitraires qu'elle renferme. Le nombre des intégrales premières est évidemment égal à n ; chacune de ces intégrales est une équation diflTé»

grâpithe VI. 375

reniielle d'ordre n — i renfermant une constante arbitraire Le système des n intégrales premières constitue le système intégral du système différentiel du premier ordre par lequel on peut remplacer l'équation différentielle d'ordre n.

Pareillement, nous appellerons intégrale deuxième ou du deuxième ordre le résultat obtenu en éliminant n — 2 des arbitraires contenues dans l'intégrale générale. Le nombre des intégrales du deuxième ordre est évidemment égal au nombre des combinaisons de n choses deux

à deux, c'est-à-dire égal à — ' ; chacune de ces intégrales est une équation différentielle d'ordre n — 2, renfermant deux constantes arbitraires.

Et généralement nous nommerons intégrale d'ordre i d'une équation différentielle d'ordre n le résultat obtenu en éliminant n — i des arbitraires contenues dans l'intégrale générale ; le nombre des intégrales d'ordre i est celui des combinaisons de n choses i à i, c'est-à-dire

n{n — i]...{n — i'hi) , 1 • .x 1 .

i : chacune de ces intésrrales est une

équation différentielle d'ordre n — i qui renferme i constantes arbitraires.

Dans l'ordre n il n'y a qu'une seule intégrale, qui n'est autre chose que l'intégrale générale.