Étant donnée l'équation différentielle d'ordre n
l dy rf'*r\
si l'on a trouvé, par une voie quelconque, une équation différentielle d'ordre n — i
dy d''-
^ '-^ (Ix ax
renfermant i constantes arbitraires Ci, Cj^ ... 9 G/, et de laquelle on puisse tirer une valeur de ^. qui satisfasse
à la proposée, on pourra la regarder comme une intégrale d'ordre 1, pourvu que cette équation, jointe à celles que Ton en déduit pari — i difTérentiations, détermine les
valeurs des arbiti*aires en fonction dex, r, 3- » • • • » ttzt '
En effet, on peut, dans notre hypothèse, déterminer les constantes de manière que
dx d^-'x
aient, pour x = x©, des valeurs arbitraires y^y J o» • • • 1 j'o"""*'; ensuite Téquation d'ordre n — i admet une intégrale générale, et les nouvelles constantes que celle-ci
renferme peuvent être choisies de manière que^, T"'"*'
^^^ se réduisent respectivement kjoy J? 0 > • • • > J 0""*"*'
pour x = aro. L'intégrale générale dont il s'agit sera donc en même temps celle de la proposée.
Il convient encore d'appeler l'attention sur la proposition suivante, qui résulte des considérations que nous venons de présenter :
Si l'on connaît k intégrales premières d'une équation différentielle d'ordre /i, on obtiendra une intégrale d'ordre k en éliminant lesk — i plus hautes dérii^ées de la fonction inconnue entre les k intégrales premières.
En particulier :
Si l'on connaît les n intégrales premières d'une équalion différentielle d'ordre n, on obtiendra l'intégrale générale en éliminant entre ces intégrales les n — I dérii^ées qu'elles renferment.
CHAPITEE YI.
Définition des intégrales particulières et des solutions particulières des équations différentielles.
634. Lorsqu'on attribue des valeurs déterminées aux constantes arbitraires qui figurent dans les intégrales d'une équation différentielle ou d'un système de telles équations, on obtient des résultats auxquels on a donné le nom d^ intégrales particulières, La considération des intégrales particulières est fort importante dans certaines questions, ainsi qu'on le verra dans la suite de cet Ouvrage, mais elle ne constitue pas l'objet que nous avons actuellement en vue.
Les équations différentielles peuvent admettre des solutions qui ne sont pas comprises dans leurs intégrales ; on peut obtenir, en général, ces solutions par des procédés purement algébriques, et on leur a donné le nom de solutions particulières.
La théorie par laquelle nous avons établi l'existence des intégrales n'a pu mettre en évidence celle des solutions particulières, car cette théorie suppose la continuité de certaines fonctions qui cessent d'être continues lorsque les variables dont elles dépendent prennent les valeurs qui conviennent aux solutions particulières. Nous étudierons d'abord, dans ce qui va suivre, le cas des équations différentielles du premier ordre à deux variables ; nous ferons voir ensuite comment on peut appliquer les mêmes considérations aux équations différentielles des ordres supérieurs.
De la solution particulière d'une équation différentielle du premier ordre, fondée sur la considération de l'intégrale générale.
635. La solution particulière d^une équation difTérentielle du premier ordre peut s'obtenir facilement, comme on va voir, au moyen de l'intégrale générale.
Soit Téquation différentielle.
et
l'intégrale générale de cette équation, G étant la constante arbitraire. La difTérentiation de l'équation (a) donne
L'équation (2) sera l'expression de toutes les fonctions de X si l'on y regarde G comme une fonction indéterminée de x, DiflTércntions (a) dans cette hypothèse, on aura
'^^ dr" ôx *^ de dx'
Mais, comme (2) satisfait à l'équation (i), on a identiquement, quels que soient x et G,
et celte identité ne sera pas troublée quand on met au lieu de G une fonction quelconque de x.
CRAPITUR VI. 879
' Pour que (4) satisfasse aussi à l'équation (i), il faut que Ton ait
dx ^ de ^^~*^L-^'-^v^»^ii»
C étant une certaine fonction de x^ et, comme l'équation (5) a lieu en môme temps, on doit avoir
âC dx ' qui se décompose en deux, savoir
L'équation (6) donne C = const. et reproduit l'intégrale générale. L'équation (7) détermine une certaine valeur de C en fonction de a:, savoir
qui répond en général à une solution particulière. Cette solution
pourra toutefois être comprise comme cas exceptionnel dans l'intégrale générale ; cela arrivera particulièrement si^(x) se réduit à une constante. Il n'y aura pas de solution particulière si l'équation (7) ne contient pas G.
636. II faut remarquer que l'équation (7) peut se mettre sous la forme
38o CALCUL IITTÉGRÀL.
— étant Urée de Tintégrale générale; sî donc celle-cî n'est pas résolue par rapport ky, et qu'elle ait la forme
(il) ♦(j:,J, C)=0,
l'équation (lo) donnera / ^ ^
Cette formule exclut évidemment les solutions particulières X = une constante. Gomme rien n'empêche de prendre x pour variable principale, on peut lui donner'
la forme
dx
et cette formule exclut les solutions particulières j = une constante.
La solution particulière s'obtiendra en éliminant G de l'équation (11) au moyen de (12) ou de (i3).
Si Téquation (11) est préparée de manière que-r-»
-T- conservent des valeurs finies, on pourra prendre simplement
mais les valeurs de G tirées de cette équation pourront cesser de donner des solutions particulières si elles
annulent t- et -r-»
ôx ôj-
