CHAPITRE VI

Téquation (12) peut être employée, on voit que la solution particulière s'obtient en exprimant que Téquation

différentielle a deux racines — égales entre elles.

640. Mais il est bien évident que les valeurs de^ fonctions de x pour lesquelles Téquation différentielle a des racines égales ne sont pas, en général, des solutions de cette équation.

Considérons le cas le plus simple, celui où Téquation

Hy est du second degré en ~- 9 et supposons-la résolue par

rapport à -j-- Soit

P et Q étant deux fonctions quelconques des variables X et y. Les valeurs de y qui annulent Q ne vérifient

Téquation — = P que dans des cas exceptionnels ; cela

arrive, par exemple, en prenant

La fonction ^ = -^ y ax -f- A- qui annule le radical

vérifie l'équation diiTérentielle proposée. L'équation difi'érentielle, mise sous forme entière, est

rintégrale générale esl donnée par Téquation

ûC{j — Cx) — 6«(i-hC«) = o,

dans laquelle G représente une constante arbitraire.

s. — Caic, tau aS

386 CALCUL I1VTÉGKA.L.

641. Les résultats que nous venons d'obtenir permettent de reconnaître, en général, si une solution donnée y =z(f(^x) d'une équation différentielle

est une solution particulière ou une intégrale particulière. Effectivement, désignons par z une variable nouvelle et posons

Téquation différentielle transformée sera satisfaite par z = o ; nous supposerons qu'elle puisse être mise sous la forme

¥ ( X, z ) étant une fonction qui n'est ni nulle ni infinie pour z = o, et II désignant un exposant positif. La question que nous avons à résoudre est donc de reconnaître la nature de la solution z = o. Or, pour qu'elle soit une solution particulière, il faut et il suffit que la dérivée de z^V{x,z) relative à z soit infinie pourz = o; cette dérivée est

(3) iiz^-^W(x,z] -f-.3»'T'(.r,s),

en écrivant V ( x, z) au lieu de — J~"

Si l'on a /x> I ou |x = I , le premier terme a une valeur finie pour z = o, et la même chose a lieu à l'égard du second terme, car on a, en nommant 6 une quantité comprise entre o et i ,

(4) {ezYr(x.ez) = e^zf^-^[^r(x,z)-r(x,o)],

et l'un et l'autre membre de cette formule restent finis pour z = o,dans notre hypothèse. Ainsi la solution z = o est une intégrale particulière de l'équation différentielle (a).