CHAPITRE VI

Si l'on a /tA <^ I , le premier terme de l'expression ( 3 ) est infini pour ^ =r o, et son ordre infinitésimal est i — /x; il peut arriver que le second terme soit lui-même infini , mais d'après la formule (4) son ordre infinitésimal est inférieur à i — i^> en sorte qu'il ne peut y avoir de réduction entre les deux termes. Dans ce cas, la solution 2 = o est une solution particulière de l'équation (a), et, par conséquent, ^ = (y (x) est une solution particulière de l'équation (i).

J'ajoute que Ton peut faire disparaître la solution particulière par un changement de variable. En effety si l'on

pose ^ = M*"**, l'équation (2) deviendra

^ = (i-^)tU ««-•'),

et cette équation (5) n'admet plus la solution z = o ou u = o. Cette remarque a été faite, pour la première fois, par Poisson.

642. Il nous reste encore une observation fort importante à présenter. La solution particulière représente l'enveloppe ou, si l'on veut, le lieu des intersections successives des courbes qui répondent aux diverses valeurs de la constante, dans l'intégrale générale. Or il peut arriver qu'une enveloppe ou l'une des courbes qui la composent fasse partie de la famille des enveloppées. On est alors dans le cas remarquable d'une solution qui a le double caractère de solution particulière et d'intégrale particulière ; il ne sera pas inutile d'en présenter un exemple. Soit

l'équation d'une famille d'enveloppées. La diiférentiation relative à C donne

aô.

388 CALCUL INTÉGUAL.

Tenveloppe se composera donc de deux courbes dont on

aura les équations en remplaçant C par r et par ^ dans Téquation des enveloppées ; il vient ainsi

r = o et y

La solution^' = o est un cas particulier des enveloppées, car elle répond au cas de C = o.

Des solutions particulières des équations différentielles d'ordre supérieur au premier ^ déduites de l'une quelconque des intégrales premières.

643. Les considérations que nous venons de développer sont applicables aux équations difTérentielles de tous les ordres.

Posons

et considérons Téquation différentielle d'ordre n

(1) /f«5 = F (x,/,j%jr^..., /(''-*> 1.

Soit

Tune quelconque des n intégrales premières de l'équation (i), G étant la constante arbitraire. En dîfTérentiant l'équation (a), on obtient

L'équation (i) doit devenir identique si Ton remplace jr(«) ^\, yin-\) par leurs valeurs tirées des équations (2)

chapithe vi. 3 89

et (3) ; ainsi Féquation

doit avoir lieu identiquement, quels que soient Xy y^ y, . . . , ^(«-2) et c.

Maintenant, si Ton regarde G comme une fonction de a:, ^, y, ..., J^^''~^^ le deuxième membre de Téquation ( a ) pourra être regardé comme une fonction aussi arbitraire des mêmes quantités. Voyons si à ce point de vue Téquation (â) peut satisfaire à (i).

L'expression (3) de ^^"^ devra être augmentée de

/)/* fie

— — ï et l'équation (4) devra persister si Ton ajoute au

premier membre la même quantité : il faut donc que cette quantité soit nulle. Le facteur

dx

donnerait C = const., ce qui répond à l'intégrale première.

On aura donc pour la solution particulière l'équation

d'où l'on tire la valeur de G en fonction des quantités x, y y y' y . . . , 7^'»""*^ Si l'on porte ensuite ces valeurs dans l'équation (a), on aura la solution particulière. On voit que cette solution est de la forme

et que, si l'intégrale première est mise sous la forme

Spo CALCUL ihtégual.

la solution particulière sera donnée par

ÔC

dfi

644. Il ne faut pas croire qu'à chaque intégrale première de l'équation ( i) puisse répondre ainsi une solution particulière; il est facile de démontrer, au contraire, que, en appliquant la règle que nous venons d'établir à chacune des n intégrales premières, on obtient toujours la même solution particulière. En effet, soit

une deuxième intégrale première de l'équation (i), B étant la constante arbitraire. Si l'on élimine^^"""*^ entre les deux équations (7) et ( 9), on obtiendra une équation d'ordre n — 2,

qui sera une intégrale deuxième de l'équation (i); nous supposerons que l'on ait mis cette équation (10) sous une forme telle, que les dérivées partielles de V ne puissent être infinies tant que les quantités qui figurent dans W restent finies. Désignons par

(l i) r{.T,jr,y\ . . . , ;^(«-»), B, C) = O

le résultat de la différentiation de l'équation (10); il est évident qu'on reproduira les équations (7) et (9) par l'élimination de B et par celle de C entre les équations (10) et (i i). Par conséquent, si l'on imagine que B soit remplacé dans l'équation (11) parla valeur tirée de l'équation (10), cette équation (11) coïncidera avec

CHAPITHE VI. 39 î

réquation ( 7 ) ? et Ton pourra la faire servir au calcul de la

dérivée partie lie -=^-7- — > qu'il faut égaler à zéro (n* 643)

pour avoir la solution particulière qui répond à l'intégrale première ( 7 ) .

DifTérenlions donc les équations (10) et (i i), en y considérant C comme une variable arbitraire, B et^^'*~*^ comme deux fonctions de cette 'variable ; on aura

dr dw dB __

5c"^dB 5c""°'

dT' dr dB dr ày^"^^)

dC "^ dB 5c "^ dj^"-*^ dC "~ ^*

Éliminons — entre ces deux équations; on obtient, à , dY' dv

dr dY dy<''-^'^ __ dY dT' dT dV "■ dB d/<«-»J dC ■" dB dC ~ dC dB *

Ainsi la solution particulière, calculée par Tune des intégrales premières (7) ou (9), est définie par Téquation

dT dV dT dW ^""^ dB dC ~dC dB""'''

on obtiendra cette solution par l'élimination de B et de C entre les équations (10), (i i), (12).

Des solutions particulières des équations différentielles d^ ordre supérieur au premier, déduites de l' équation différentielle,

645. La solution particulière d'une équation différentielle d'ordre quelconque peut être déterminée, quand

392 CALCUL IIVTÉGIIAL.

elle existe, par l'équation différentielle elle-même, sans qu'il soit nécessaire de connaître aucune intégrale. Considérons l'équation différentielle

et soit

une quelconque des n intégrales premières ; en différentiant l'équation (a), on a

Supposons que l'on tire de l'équation (3) la valeur de G en fonction de x, y y j\ . . . , y^"^ et qu'on la substitue dans l'équation (a); celle-ci deviendra l'équation différentielle elle-même, et on peut l'employer pour le calcul de la dér ivéej'^"+*M'ordre ti 4- 1 qu'on obtiendrait directement par l'équation (i). Différentiant donc l'équation (a), on a

Mais la première partie du premier membre est nulle par l'équation (3), et l'on a simplement

Voilà donc sous quelle forme on peut mettre l'équation obtenue en différentiant la proposée (i); dans le cas de la solution particulière, elle est satisfaite identiquementet elle ne peut servir à délermîner^<«+*^ ; effectivement on

CIIAPITKB VI. 393

a -rp; = o, pour une telle solution , si Ton suppose, ce qui

est permis y que Téquation (2) soit résolue par rapport àj^(«-o. U serait facile au surplus de démontrer que la valeur de^^""^*^ tirée de l'équation (4), après la suppression du facteur -^-9 ne convient pas, en général, à la

solution particulière.

Supposons que l'équation (i) ait été préparée de manière que son premier membre soit une fonction bien déterminée des quantités qui y figurent et dont les dérivées partielles restent finies; la différentiation donnera

ety puisque cette équation ne saurait faire connaître la valeur de^^"+*^ qui convient à la solution particulière, on aura nécessairement, pour cette solution,

et

646. U nous reste une dernière remarque à présenter au sujet de la théorie des solutions particulières. Soit

la solution particulière de l'équation d'ordre n

Si cette solution particulière est effectivement de l'ordre /* — i, son intégrale générale renfermera n — i

394 CALCUL INTÉGKAL.

constantes arbitraires, et cette intégrale satisfera à la proposée. La solution particulière peut elle-même avoir une solution particulière, mais il est très-important de remarquer que cette solution ne satisfait pas, en général, à la proposée.

En effet, par hypothèse , l'équation ( a) est bien satisfaite quand on y substitue les valeurs de^^"*"*^ et dej^^"^ tirées de l'équation (i) et de celle qu'on en déduit par la diiférenliation ; mais cette dernière équation est

du ,dn r ^ an

et elle cesse de déterminer y^"^^ comme on l'a vu au

numéro précédent, quand il s'agit de la solution particulière de l'équation (i).

jipplication de la théorie précédente à un exemple,

647. Je croîs devoir éclaircir, par un exemple, l'importante théorie que nous venons de présenter. Soit Téquation

(i) jr — a.r^ — bx — 4^* — ^' = o,

où a et 5 sont deux constantes arbitraires et que Lagrange a considérée dans ses Leçons sur le calcul des fonctions. On en tire

(2) — lax — ^z=o.

L'élimination de b donne

CH^LPITRE yU 395

et Ton a, par celle de a^ Ensuite Téquation ( 2 ) donne

d'où fl = - ^ • En portant cette valeur de a dans l'équation (3), il vient

rs / f\M^^V l '^r ^»\r/V [dry dr

L'équation (6) estune équation diflférentielle du deuxième ordre; les équations (3) et (4) sont ses intégrales premières, l'équation (i) est son intégrale générale.

En exprimant l'égalité des raciales a de l'équation (3 ) ou celle des racines h de l'équation (4)* on trouve la solution particulière de l'équation (6),^ savoir :

Si l'on veut tirer cette équation (7 ) de l'équation différentielle (6)1 on différentiera cette dernière, et Ton trouvera

r\ , . , X d}r djr x^ 1

En égalant à zéro le coefficient de —— » on a

iQ\ t f\ ^*^ dx x^

396 CALCUL INTÊGBAL.

enfin l'élimination de -r-^ entre les équations (6) et (8)

donne l'équation (7), que nous venons d'obtenir par ie moyen des intégrales premières.

dy

Si l'on résout l'équation (7) par rapport à ~> on trouvera

dx 4 4

et l'on peut écrire

dr