i- -4-4'^ -4- 2a:* dx

^ — 2 ^I -h Jr*= O.

^16/ H- 4j?*-fr-

Or la première partie du premier membre est la dérivée du radical ^i6^-h4J^^-HJ:*, tandis que la seconde partie 2 ^i-h x^ est la dérivée de

Xsjx H- jr'-f- l0g(x + ^I -H J7*) .

Donc la solution particulière (7) s'obtient en dilTércntiant l'équation

(9) ^l6j H- 4-*^* H- X* — x^lH-x* — log(.r + y/l -+- a*) = H,

OÙ H désigne une constante arbitraire; en d'autres termes, l'équation (9) est l'intégrale générale de cette solution particulière.

L'équation (7) a elle-même une solution particulière, et on peut la tirer de son intégrale générale (9). Comme celle-ci est résolue par rapport à la constante arbitraire, il suffira d'égaler à l'infini la dérivée de son premier membre prise par rapport \y. On trouve ainsi

r} JT*

i6r-+-4-^'-*--^* = o, d'où ^ = 7- -3

chapithb VI. 397

Cette valeur de y satisfait bien à Téquation (7), mais elle ne vérifie pas Téquation (1).

Sur une classe remarquable d'équations

différentielles.

648. En terminant ce Chapitre, je présenterai quelques notions très-sommaires relatives à une classe d'équations diflerentielles étudiées d'abord par Lagrange et dont j'ai donné une théorie très-dé veloppée dans un Mémoire qui fait partie du Tome XVIII du Journal de Mathématiques pures et appliquées*

Soient X, y deux variables ; y y y", ... les dérivées successives àe y\ a et 6 deux constantes arbitraires. Si les deux équations

^'^ Ui^.r.y ><''M = s

sont deux intégrales premières d'une même équation différentielle V = o, et que

en résulte par l'élimination de J^^''^ cette dernière sera une intégrale deuxième de l'équation V= o. J'ajoute que la même équation (â) sera une intégrale première de l'équation

OÙ F désigne une fonction quelconque , pourvu que Tony considère a et 6 comme des constantes liées entre elles par l'équation

398 CALCUL IHTÉGRAL.

Effectivement, si l'on résotit par rapport à a et 6 le système formé de réquatiôn (2) et de celle qu'on en déduit par la différentiation, on trouvera, par notre hypothèse, « = 9, 6= v(^, et, puisqu'on suppose a et 6 liés par l'équation [4)9 ^^ ^st clair que l'équation (3) sera satisfaite.

Maintenant, pour avoir la solution particulière de l'équation (3), on peut employer son intégrale première ( 2 ). Nous supposerons cette intégrale écrite de telle

manière que la dérivée ^ ^^ ne puisse devenir infinie ;

alors il suffira de différentier l'équation (2) par rapport à l'arbitraire a, en regardant 6 comme une fonction de a; il vient ainsi

da. de

D'ailleurs l'équation (4) donne

dF , ÔF ^^

da de '

et il en résulte, par l'élimination du rapport —9

ôfôF^ôfdF^ ^^' da dS dS da ^'

cette équation (5) est précisément la solution particulière demandée.

649. Exemple I. — Supposons qu'on demande de trouver une courbe plane, connaissant la courbe lieu des centres de courbure.

Si l'on désigne par x,j les coordonnées de la courbe demandée, para, 6 celles du centre de courbure, on

CnAPlTRB VI, S99

aura (n«19S)

^ Tùr*

si donc

est l'équation de la courbe donnée, Téquation différentielle du problème sera

elle est du deuxième ordre. Mais, si Ton regarde a et S comme des constan tesarbitraires, les équations (i) seront deux intégrales premières de la même équation du troisième ordre

(4) y-^d^r^jd^^-^^d^yd^j ==^^

on est donc ici dans le cas considéré au numéro précé-

d^X dent. En éliminant -7-^- entre les équations (i), on obtient

et cette équation est une intégrale première de l'équation (3), a et 6 étant des constantes liées entre elles par l'équation ( a). Le premier membre de l'équation (5) est, à un facteur constant près, la dérivée de

si donc on désigne par R une nouvelle constante arbi-*

4oO CALCUL INTÉGRAL.

traire, Tîntégrale générale de l'équation (3) sera

(^-a)»4-(r-e)«=ii»,

a et S étant liés par Téquation (2). La solution générale du problème proposé est donc donnée par une circonférence de ra^on arbitraire et dont le centre est en un point arbitraire de la courbe donnée. Mais, au point de vue de la Géométrie, ce n'est pas là la vraie solution; celle-ci n'est autre chose que la solution particulière de l'équation (3). Pour l'obtenir, il faut différentier l'équation (5 ) en regardant a et S comme seules variables, ce qui donne

le rapport -— devant être tiré de l'équation ( a ) . L'équation (6), qui n'est que du premier ordre, est précisément celle qu'il faut poser quand on se propose de trouver les développantes de la courbe donnée.

630. Exemple IL — Proposons-nous de trouver les lignes de courbure d'une surface de deuxième ordre à centre.

L'équation de la surface donnée étant

l'équation dilTérentîelle des projections des lignes de courbure sur le plan xj sera (n** 341 ), en faisant dj =ydxy