CHAPITRE yi

en posant

Or, quand on regarde aeië comme des constantes arbitraires, les précédentes équations s'accordent à donner, par la difTérentiation,

elles sont donc deux intégrales premières de cette dernière équation, et Ton peut appliquera l'équation (a) le théorème du n® 648. En éliminant y' entre les équations (4)î on trouve

a et 6 étant liés par l'équation (3), nous poserons a = |cx', 6= fi* — b^, et l'équation des projections des lignes de courbure sera finalement

fx* étant la constante arbitraire.

Comme cette équation (5) est symétrique par rapport à p et|u, si l'on considère p comme un paramètre variable et (JL comme une quantité déterminée, elle représentera également les projections des lignes de courbure de la surface

et, si p et fil ont en même temps des valeurs déterminées, l'équation (5) représentera la projection d'une ligne de courbure commune aux surfaces (i) et (6), laquelle sera donc l'intersection de ces deux surfaces.

S. ^ Caîe, int, a6

Si dans l'équation (i) on a p > c^ i, (x devra être compris entre b et c, ou inférieur à c, car autrement les deux surfaces ne se couperaient pas. On conclut de là que les trois équations

x' jr^ 3*

dans lesquelles i et c ^ i sont des constantes déterminées, Oy [jLj V trois paramètres variables, compris, le premier entre c et oo , le deuxième entre b et c et le troisième entre o et b, représentent un système de trois familles telles, que Tune quelconque des surfaces de Tune des familles est coupée, suivant ses lignes de courbure, par toutes les surfaces des deux autres familles, propriété que nous avons déjà démontrée au moyen du théorème deDupin(n°338).