CHAPITRE yii

L'équation de la tangente MT au point M(a?, j^) est

et, si Ton y fait X= o, Y = — \Joc^-\-y^j on obtiendra Téquation difTérentielle de la courbe cherchée^ savoir :

Posons

dy dz

Téquation précédente devient

dz I r dz dx

ar~ = i^i -^ 3* ou

dx ^n-z*

les variables sont séparées, et, comme on a

— =: log x -f- const., 1 —=--== = log(« •+- V^i + ^'j -^ const.,

rintégrale sera

log (z -4- ^i-h z* ) = logx — logC,

logC étant la constante arbitraire. On peut écrire aussi

«4- yi -T-3*== -r^-i

et, en prenant les inverses des deux membres.

Retranchant enfin la dernière équation de la précédente,

il vient

4lO CALCUL INTÉGRAL.

OU, en remettant - au lieu de z,

Cette équation représente des paraboles qui ont pour foyer l'origine des coordonnées et dont Taxe coïncide avec l'axe des y. En dilTérentiant par rapport à C, il

vient

ce qui donne la solution particulière imaginaire

l'équation diflFérentielle du problème est effectivement satisfaite quand on pose y =^x y — i .

656. Exemple II. — Trouver l'intégrale de V équation différentielle

[ax H- by) dx -i- [a'x -4- b*x)dy = o,

dans laquelle a, b, a', V désignent des constantes données.

Par la substitution

jr zrz xz, dr = xdz ■+- zdxy

l'équation proposée devient

{a'-^b*z]dz dx

dx {b-ha'^-ho.b'z , [a'—b]

Les deux premiers termes de cette équation forment la différentielle de la somme

logar«-h log[a-+-(ô -h a')z-i- b'z^] ~-- log [aor* -f- (ô -ha')xx -h b'j'*];

ghapithe VII. 4ï '

on a donC; par rintégration,

log[ax«-h(ô + fl')xr + A'7*]+ r (^^-^^3 const.

' ■■ J a ~\- [b -^^ a )z-r- vz*

Si l'on pose

H étant une quantité positive, le dernier terme de la formule précédente aura pour valeur

a'— b , '^b'z-hb-^-a' — sjTl • — -^— log — ^

VH ib'z-^b-^-a' -\-\l\l

2(^7'— b] ib'z -h b ~i^ a' — ^— — - arc tanff ;=: — '■ 9

selon que di H sera positif ou négatif. L'intégrale de Téquation proposée sera donc, dans le premier cas,

, , . ,, ,, ^, ,, a'-^b. ib'r-^ (b-^-a' — s/'Tl)^ ^ los[a.7:^-h[b^a')xX'^by*]~^—=-\og—f— l-i- zr^C,

^^ ^ v^u iby~: {b-'r-a'-i^s/n)jc

et, dans le second cas,

log [rtx* -4- ( ^ -h fl ) jpj H- ^>*] -h -^ — — ^ arc tang — ^ ^ '— = C,

G désignant la constante arbitraire. Dans le cas de H = o, le dernier terme est algébrique, et Ton reconnaît facilement qu'il a pour valeur

11 est évident que l'intégrale de l'équatîon proposée ne peut être algébrique que si la quantité + H est positive.

4l2 CALCUL INTÉGRAL.

et, dans ce cas, il faut en outre que Ton ait

rt' — b m

VH «

m eln étant des nombres entiers.

657. Exemple 111. — Trouver L'intégrale de l'équation différentielle

[ax -^ bjr -^ c]dx -f-(a'x -t- b'y -4-c')rf7=ro.

L'équation dont il s'agit n'est pas homogène par rapport aux variables x» y^ mais on peut la ramener à la forme des équations homogènes par un changement de variables. Posons

X r- Xq 4- x\ y=y^^y',

od et y étant les nouvelles variables, et déterminons les constantes jTq, yo par les équations

axQ •+- bjTQ -^ c=zo, a'xQ -4- b'y^ + c' rrr o.

L'équation transformée sera

[ax'^by)dx' -f- (aV 4- b'y)dy=zo,

et elle coïncide avec celle de l'exemple précédent. On peut encore procéder comme il suit. Posons

ax -h by -h c = u, cix -4- b'y -h c' = •»,

u et ç» étant de nouvelles variables ; on aura

___ h'[u — c)- b(u-~c') __ a(u-.c')^a'{ii^c)

"^^ ab' — ba' ' •^~" ab'-^ba'

et l'équation proposée deviendra

u[b' du — bdv]-\- v[adv — adu] = o

[b' u — a'p]du -h{av — bu)dç=zo.